Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Ю.А. Игнатова, А.Л. Цветянский, М.А. Сорочинская,

Т.Ю. Привалова.

МЕХАНИКА. МОДУЛЬ3. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

для физического факультета и факультета высоких технологий

учебно-методическое пособие

Ростов-на-Дону

2010

Учебно-методическое пособие разработано старшим преподавателем кафедры общей физики Ю.А. Игнатовой, к. физ.-мат. н., проф. кафедры общей физики А.Л. Цветянским, старшим преподавателем кафедры общей физики М.А. Сорочинской, доц. кафедры общей физики Т.Ю. Приваловой.

Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики физического факультета ЮФУ, протокол № от 2010г.

Учебно-методическое пособие предназначено для аудиторной и самостоятельной работы студентов 1 курса физического факультета и факультета высоких технологий. В сборнике приведены диагностико-квалиметрические материалы (задачи для самостоятельного решения). Учебно-методическое пособие снабжено краткой теорией, примерами решения задач, приложениями, содержащими значения фундаментальных физических постоянных, производные и первообразные некоторых функций, формулы векторной алгебры и тригонометрии.

Динамика твердого тела краткая теория

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ

Определение момента инерции

Момент инерции тела относительно неподвижной оси - физическая величина, равная сумме произведений элементарных масс на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси и являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении

. (1)

Суммирование производится по всем элементарным массам _, на которые можно разбить тело.

Рисунок 1 – Разбиение тела на элементарные массы

Момент инерции — величина аддитивная: момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей.

Момент инерции тела в случае непрерывного распределения масс

_, (2)

где ρ - плотность тела в данной точке; dm=ρdV - масса малого элемента тела объемом dV, отстоящего относительно оси вращения на расстоянии r.

Интегралы берутся по всему объему тела, причем величины ρ и r являются функциями точки (например, декартовых координат х_, у и z).

Момент инерции сплошного цилиндра

Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним r + dr. Момент инерции каждого полого цилиндра , (), объем элементарного цилиндра 2πrh dr, его масса dm = 2πrhρ dr и dI=2πhρr³ dr (ρ - плотность материала). Момент инерции сплошного цилиндра .

Рисунок 2 – К расчету момента инерции сплошного цилиндра

Поскольку - объем цилиндра, его масса , а

. (3)

Теорема Штейнера

Момент инерции тела I относительно любой оси вращения равен моменту его инерции I_c относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями.

. (4)

Таблица 1 Моменты инерции однородных тел

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиуса R	Ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиуса R	Ось симметрии
Прямой тонкий стержень длиной l	^Ось перпендикулярна стержню и ^проходит через его середину
Шар радиуса R	Ось проходит через центр шара
Прямоугольная тонкая пластинка со сторонами а и b	Ось проходит через центр пластины перпендикулярно ее плоскости

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела

Тело вращается вокруг неподвижной оси . Мысленно разбиваем это тело на элементарные массы находящиеся на расстоянии . При вращении твердого тела элементарные объемы массами опишут окружности радиусов .

Рисунок 3 – Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Кинетическая энергия -й элементарной массы

. (5)

Линейная скорость элементарной массы равна (угловая скорость вращения всех элементарных объемов одинакова).

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела.

(6)

Учли, что , - момент инерции тела относительно оси

. (7)

Из сравнения формул и следует, что момент инерции – мера инертности тела при вращательном движении.