Кинетическая энергия вращающегося твердого тела

Тело вращается вокруг неподвижной оси . Мысленно разбиваем это тело на элементарные массы находящиеся на расстоянии . При вращении твердого тела элементарные объемы массами опишут окружности радиусов .

Рисунок 3 – Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Кинетическая энергия -й элементарной массы

. (5)

Линейная скорость элементарной массы равна (угловая скорость вращения всех элементарных объемов одинакова).

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела.

(6)

Учли, что , - момент инерции тела относительно оси

. (7)

Из сравнения формул и следует, что момент инерции – мера инертности тела при вращательном движении.

Плоское движение твердого тела

Плоским называется такое движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях. Произвольное плоское движение можно представить как совокупность поступательного движения и вращения. Разбиение движения на поступательное и вращательное можно осуществить множеством способов, отличающихся значениями скорости поступательного движения, но соответствующих одной и той же угловой скорости . Поэтому можно говорить об угловой скорости вращения твердого тела, не указывая через какую точку проходит ось вращения. Тогда формула для скорости точек относительно неподвижной системы отчета будет иметь вид: ,

где - скорость центра масс тела, - угловая скорость тела. Кинетическая энергия тела при плоском движении – складывается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела.

_, (8)

где - масса тела; - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс.

Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела Момент силы

Момент силы относительно неподвижной точки - физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора , проведенного из точки в точку приложения силы, на силу

- осевой вектор (псевдовектор), его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

Модуль вектора момента силы

_, (9)

где - угол между и , - кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой - плечо силы.

Рисунок 4 – Момент силы относительно неподвижной очки О

Момент силы относительно неподвижной оси - скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки данной оси .

Рисунок 5 – Момент силы относительно неподвижной оси

_{Значение момента} не зависит от выбора положения точки на оси .Если ось _{совпадает с направлением вектора , то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:}

_.

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Сила приложена к точке , находящейся от оси на расстоянии , - угол между направлением силы и радиусом-вектором _{(смотри рисунок 6)}. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела.

При повороте тела на бесконечно малый угол точка приложения силы проходит путь и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения: . Учитывая, что , получаем

(10)

Рисунок 6 – К вычислению работы при вращении тела

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела:

. (11)

Момент сил твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловое ускорение.

Работа вращения тела идет на увеличение его кинетической энергии: , , . Тогда , или . Так как угловая скорость , то .