32. Линейные цепи. Правила Кирхгофа. Методы анализа линейных цепей. Переходные процессы в цепи с конденсатором.

Элемент электрической цепи называется линейным, если его параметры не зависят от напряжения и силы тока, т.е. вольт-амперная характеристика прямая.

Электрическая цепь называется линейной если она состоит из линейных элементов.

Применение закона Ома для расчета сложных разветвленных цепей, содержащих несколько источников довольно сложно. Для расчетов таких цепей используют два правила немецкого физика Г.Кирхгофа, первое из которых вытекает из закона сохранения заряда, а второе является обобщением закона Ома на произвольное число источников сторонних ЭДС в изолированном замкнутом контуре.

Для того чтобы использовать правила Кирхгофа необходимо ввести несколько понятий.

Электрическая схема – графическое изображение электрической цепи.

Ветвь электрической цепи – один или несколько последовательно соединенных элементов цепи, по которым течет один и тот же ток.

Узел – соединение трех или большего количества ветвей. Ток, входящий в узел, считается положительным, а ток, выходящий из узла, - отрицательным.

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

Например, для узла на рис.64 I₁-I₂+I₃-I₄-I₅=0

Контур – любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям. Положительное направление обхода контура выбирается произвольно, но одно и то же для всех контуров электрической цепи. Токи совпадающие по направлению с направлением обхода контура, считаются положительными, не совпадающие с направлением обхода – отрицательными. ЭДС считаются положительными, если они создают ток, направленный в сторону обхода контура.

Рассмотрим цепь, содержащую три источника (рис.65). Пусть R₁, R₂, R₃ общие сопротивления ветвей АВ, ВС, СА соответственно. Положительное направление обхода примем по часовой стрелке. Применим к каждой ветви закон Ома для неоднородного участка цепи.

Сложив почленно эти уравнения, получим

Второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме ЭДС, встречающихся в этом контуре:

При расчете сложных цепей постоянного тока с применением правил Кирхгофа необходимо: 1.выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи; действительное направление токов выяснится при решении: если искомый ток получится положительным, то его направление было выбрано правильно, а если отрицательным, то его истинное направление противоположно выбранному;

2.выбрать направление обхода контуров и строго его придерживаться; записывая со соответствующими знаками токи и ЭДС;

3.составить количество уравнений равное количеству искомых величин (в систему уравнений должны входить все сопротивления и ЭДС рассматриваемой цепи).

Переходные процессы в RС и RL-цепях

Переходные процессы в электрических цепях возникают при включении или выключении э д с, а также при изменении одного или нескольких параметров цепи.

Переходные процессы в электрических линейных цепях описываются линейными дифференциальными уравнениями, составленными согласно правил Кирхгофа.

Ток заряда в RC-цепи при переходном процессе определяется

(I₀ = СdU_c /dt).

I_з =(U₀/R)  e^-t/c. (8)

Напряжение на активном сопротивлении (U_R =I_з R)

U_R = U₀ e^-t/c. (9)

Анализ полученных временных зависимостей U_c(t) и I_з(t) в RC-цепи во время переходного процесса показывает, что с течением времени напряжение на конденсаторе U_c возрастает, стремясь к U₀ (рис. 4), а ток убывает от значения, равного U₀ /R , до нуля (рис. 5). При этом изменение напряжения на конденсаторе и тока в цепи при переходном режиме происходит тем быстрее, чем меньше постоянная времени цепи _c = RC.

Р и с. 4 Р и с. 5

Короткое замыкание RC-цепи, т. е. разряд конденсатора С на активное сопротивление R, можно описать уравнением:

U_c + U_R = 0 , (10)

где I_p = CdU_c /dt; U_R = I_pR;

Получим однородное дифференциальное уравнение первого порядка:

U_c + RCdU_c /dt = 0, (11)

Решение этого уравнения имеет вид:

U_c = U₀ e^-t/c, (12)

где U₀ = U_c (0).