Закон сохранения момента импульса

Еще одна форма записи уравнения динамики вращательного движения твердого тела - производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту силы относительно той же оси

. (17)

Продифференцировав по времени, получим записанное выражение:

. (18)

Производная вектора момента импульса твердого тела равна моменту (сумме моментов) внешних сил

. (19)

Закон сохранения момента импульса:

_. (20)

Момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

В замкнутой системе момент внешних сил и , откуда _.

Закон сохранения момента импульса — фундаментальный закон природы.

Закон сохранения момента импульса – следствие изотропности пространства.

Изотропность пространства - инвариантность физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

Некоторые демонстрации закона сохранения момента импульса

Человек, сидящий на скамье Жуковского (она с малым трением вращается вокруг вертикальной оси) и держащий в вытянутых руках гантели, приведен во вращение с угловой скоростью . Если человек прижмет гантели к себе, то момент инерции системы уменьшится. Поскольку момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы сохраняется () и угловая скорость вращения возрастает. Человек, стоящий на скамье Жуковского (она с малым трением вращается вокруг вертикальной оси), держит в руках колесо, вращающееся вокруг горизонтальной оси. Начальный момент импульса . Если поднять вращающееся колесо (рисунок 9б), то остается равным нулю (поворот колеса осуществляется за счет внутренних сил) и скамья начнет вращаться в направлении, противоположном направлению вращения колеса с угловой скоростью , удовлетворяющей равенству ( - момент инерции колеса; - угловая скорость колеса; - момент инерции системы «человек + скамья»).

а)

б)

Рисунок 9 – Демонстрации закона сохранения момента импульса

Гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения.

Примеры решения задач

Пример 1.Через блок, укрепленный на горизонтальной оси, проходящей через его центр, перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы и (рисунок 10). Масса блока . Блок считать однородным диском. Найти ускорение грузов.

Решение. Заданная система состоит из трех тел – грузов и и блока . Груз находится под действием двух сил: силы тяжести и силы натяжения нити. Второй закон Ньютона для этого груза:

. (21)

Аналогично, рассматривая силы, действующие на груз , получим

. (22)

Рисунок 10 – Рисунок к примеру 1

Так как масса блока соизмерима с массой грузов, то мы не имеем права предполагать, что силы, с которыми нить действует на грузы и , равны между собой. Соотношение между силами и может быть получено только после рассмотрения движения блока. Блок вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через его центр, следовательно, моменты сил тяжести блока и реакции оси равны нулю. Если предположить, что нить не скользит относительно блока, то вращение блока вызывается действием только сил натяжения нити. (Правильнее было бы сказать, что вращение блока вызывается силами трения покоя между нитью и ободом блока, причем в каждой точке соприкосновения сила трения покоя равна соответствующей силе натяжения нити.)

Тогда основное уравнение динамики вращательного движения для блока имеет вид

, (23)

где и - моменты сил натяжения и .

Благодаря невесомости нити силы натяжения вдоль нити с каждой из сторон блока одинаковы по модулю, т.е. и .

Ускорения обоих грузов считаем равными по модулю на основании нерастяжимости нити. Если нить не проскальзывает относительно блока, то касательное ускорение его точек, соприкасающихся с нитью, равно ускорению нити в любой ее точке, а следовательно, и ускорению грузов:

, . (24)

Чтобы перейти к скалярным соотношениям для описания движения грузов, введем ось . Тогда , и векторные уравнения (21) и (22) можно заменить скалярными:

, . (25)

Моменты сил и направлены по оси вращения, но в противоположные стороны. Примем направление вектора угловой скорости за положительное. Тогда векторное уравнение (23) можно переписать в виде

, (26)

где - радиус блока.

Очевидно, , если масса блока, а следовательно и его момент инерции пренебрежимо малы. Выражая из соотношения (24) и учитывая, что момент инерции однородного диска , получаем

. (27)

Уравнения (25) и (27) образуют систему. Сокращая в уравнении (27) радиус блока и складывая все три уравнения (предварительно второе из уравнений (25) надо умножить на (-1)), получаем

. (28)

Пример 2. По горизонтальному столу может катиться без трения цилиндр массы , на который намотана нить. К свободному концу нити, переброшенному через легкий блок, подвешен груз той же массы (рисунок 11). Система предоставлена сама себе. Найти ускорение груза и силу трения между цилиндром и столом. Задачу решить для полого и сплошного цилиндров.

Рисунок 11 – Рисунок к примеру 2

Решение. Система состоит из двух тел – груза и цилиндра, связанных между собой. Поэтому между кинематическими параметрами этих тел существуют определенные соотношения. На груз действуют сила тяжести и сила натяжения нити:

, (29)

где - ускорение груза, который совершает только поступательное движение.

На цилиндр действуют силы тяжести и нормальной реакции стола, взаимно компенсирующие друг друга, и в горизонтальном направлении – сила натяжения нити и сила трения между цилиндром и столом. Обе силы создают вращающие моменты относительно оси цилиндра (предполагаем, что нить намотана так, что обе силы действуют в одной вертикальной плоскости, перпендикулярной оси цилиндра и совпадающей с плоскостью рисунка). Следовательно, цилиндр совершает сложное плоское движение, уравнения которого

, . (30)

Чтобы найти связь между , и , рассмотрим движение точек и цилиндра. Цилиндр участвует в двух движениях, и скорость любой его точки , где - скорость центра масс, т.е. скорость поступательного движения; - линейная скорость, обусловленная вращением вокруг центра масс. Для точек и в проекциях на ось

, . (31)

Продифференцируем эти уравнения

, , (32)

где и - проекции результирующего ускорения точек и на ось . При отсутствии скольжения и . Тогда

, (33)

а горизонтальная составляющая результирующего ускорения точки

. (34)

Если нить, связывающая цилиндр и груз, нерастяжима и не проскальзывает относительно цилиндра, то горизонтальная составляющая результирующего ускорения точки цилиндра равна ускорению груза. Следовательно,

. (35)

Очевидно, искомые величины могут быть найдены решением системы уравнений (29) и (30) с учетом соотношений (33) и (35). Однако уравнения (33) и (35) следует заменить скалярными соотношениями, а для этого необходимо знать направление силы трения.

Последняя является силой трения покоя, и направление ее противоположно вектору скорости точки , которую она имела бы при отсутствии трения. Если начальная скорость равна нулю, то направлена так же, как горизонтальная составляющая результирующего ускорения , когда трения нет. В этом случае цилиндр совершает сложное движение и

, (36)

где и - соответственно ускорение центра масс и угловое ускорение цилиндра при отсутствии трения.

Таким образом, направление силы трения можно найти, рассмотрев предварительно задачу без учета силы трения.

Уравнения (30) движения цилиндра без трения примут вид

, . (37)

Ускорение и сила натяжения нити направлены по оси ; угловое ускорение и момент силы натяжения нити также сонаправлены, поэтому уравнения (37) можно записать в скалярном виде:

, . (38)

Запишем момент инерции цилиндра в виде (для полого цилиндра , для сплошного - ) и подставим его в выражение (38):

, . (39)

Так как , то и . Если , то точка цилиндра не будет скользить по поверхности стола (при любом значении силы ) и трение не возникнет. Если , то сила трения направлена по оси так, как показано на рисунке.

Коллинеарность сил, действующих на груз, позволяет переписать уравнение (29) в скалярном виде:

. (40)

Уравнениям (30) соответствуют скалярные соотношения

, . (41)

Второе из уравнений (41) соответствует тому, что, как и при отсутствии силы трения, цилиндр вращается по часовой стрелке.

Невесомость блока и нити позволяет считать силу натяжения вдоль всей нити постоянной по модулю, т.е. .

Учитывая соотношения (33) и (35), выражение для момента инерции и равенство сил натяжения, перепишем уравнения (39) и (41):

, , (42)

. (43)

Сокращая последнее уравнение на и решая полученную систему совместно, находим

, .

Для сплошного цилиндра имеем

; ;

для полого цилиндра ()

; .

Пример 3. Шар и полый цилиндр одинаковой массы катятся равномерно без скольжения по горизонтальной поверхности и обладают одинаковой кинетической энергией. Во сколько раз отличаются их линейные скорости.

Решение. Кинетическая энергия тела, участвующего одновременно в двух движениях, складывается из кинетической энергии поступательного и вращательного движений

. (44)

Учитывая, что момент инерции полого цилиндра равен , шара , а связь угловой и линейной скоростей , выражения для полого цилиндра и шара будут иметь вид

, (45)

. (46)

По условию задачи , и тогда , откуда

.

Скорость шара в раза больше скорости цилиндра.

Пример 4. Тонкий стержень массой и длиной вращается с угловой скоростью в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Продолжая вращаться в той же плоскости, стержень перемещается так, что ось вращения теперь проходит через конец стержня. Найти угловую скорость во втором случае.

Решение. Для решения задачи используем закон сохранения момента импульса: для изолированной системы тел векторная сумма моментов импульсов остается постоянной.

. (47)

В данной задаче за счет того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется, момент инерции стержня также изменяется. В соответствии с (47) момент импульса не изменяется:

. (48)

Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через середину стержня (центр тяжести) и перпендикулярной ему (1-й случай), равен:

. (49)

Момент инерции относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец (2-й случай), найдем по теореме Штейнера:

,

где - момент инерции тела относительно произвольной оси вращения, - момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр тяжести, - расстояние от центра тяжести до выбранной оси вращения.

. (50)

Подставим выражения (49) и (50) в равенство (48):

,

откуда .