Плоское движение твердого тела

Плоским называется такое движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях. Произвольное плоское движение можно представить как совокупность поступательного движения и вращения. Разбиение движения на поступательное и вращательное можно осуществить множеством способов, отличающихся значениями скорости поступательного движения, но соответствующих одной и той же угловой скорости . Поэтому можно говорить об угловой скорости вращения твердого тела, не указывая через какую точку проходит ось вращения. Тогда формула для скорости точек относительно неподвижной системы отчета будет иметь вид: , где - скорость центра масс тела, - угловая скорость тела. Кинетическая энергия тела при плоском движении – складывается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела.

(8)

где - масса тела; - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс.

Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела Момент силы

Момент силы относительно неподвижной точки - физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора , проведенного из точки в точку приложения силы, на силу

₍₉₎

- осевой вектор (псевдовектор), его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

Модуль вектора момента силы

(9а)

где - угол между и , - кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой - плечо силы.

Рисунок 4 – Момент силы относительно неподвижной очки О

Момент силы относительно неподвижной оси - скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки данной оси .

Рисунок 5 – Момент силы относительно неподвижной оси

_{Значение момента} не зависит от выбора положения точки на оси .Если ось _{совпадает с направлением вектора , то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:}

_{. (9б)}

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Сила приложена к точке , находящейся от оси на расстоянии , - угол между направлением силы и радиусом-вектором _{(смотри рисунок 6)}. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела.

При повороте тела на бесконечно малый угол точка приложения силы проходит путь и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения: . Учитывая, что , получаем

(10)

Рисунок 6 – К вычислению работы при вращении тела

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела:

. (11)

Момент сил твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловое ускорение.

Работа вращения тела идет на увеличение его кинетической энергии: , , . Тогда , или . Так как угловая скорость , то .

Момент импульса

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки - физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора материальной точки, проведенного из точки , на импульс этой материальной точки

(12)

Модуль вектора момента импульса

(13)

где α – угол между векторами и ; - плечо импульса. Перпендикуляр опущен из точки на прямую, вдоль которой направлен импульс частицы.

Рисунок 7 – Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки О

- осевой вектор (псевдовектор), его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси z - скалярная величина L_iz, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки данной оси z.

Значение момента импульса L_iz не зависит от положения точки О на оси z.

Рисунок 8 – Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси z

Момент импульса отдельной точки вращающегося абсолютно твердого тела

. (14)

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса с некоторой скоростью . Скорость и импульс перпендикулярны этому радиусу, т. е. радиус — плечо вектора . Тогда момент импульса отдельной частицы и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

Момент импульса абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси z - сумма моментов импульса отдельных его частиц относительно той же оси

, (15)

равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость

_. (16)

_{Учтем, что}

,

где - момент инерции тела относительно оси z, – угловая скорость.

Таблица 2 Аналогия в описании поступательного и вращательного движений

Поступательное движение			Вращательное движение
Масса	m	Момент инерции
Скорость		Угловая скорость
Ускорение		Угловое ускорение
Сила		Момент силы
Основное уравнение динамики		Основное уравнение динамики
Работа		Работа
Кинетическая энергия		Кинетическая энергия