3. Количественное измерение тесноты связи признака-функции и признаков-факторов методом парной корреляции

3.1. Теоретическая справка о регрессии и корреляции

Статистика разработала множество методов изучения связей, выбор которых зависит от целей исследования и от поставленных задач. Различают два типа связей между признаками:

• функциональную (жестко детерминированную);

• стохастическую.

Строго определить различие этих типов связи можно тогда, когда они получают математическую формулировку.

Функциональной называется связь, при которой с изменением значения одной из переменных вторая изменяется строго определенным образом, то есть значению факторного признака обязательно соответствует одно и только одно значение результативного признака.

Стохастической называется связь, при которой с изменением значения одной из переменных вторая может в определенных пределах принимать любые значения с некоторыми вероятностями, но ее среднее значение изменяется по определенному закону.

Корреляционная связь является частным случаем стохастической связи.

Корреляция - соотношение между объективно существующими явлениями и процессами. Если случайные переменные причинно обусловлены, и можно в вероятностном смысле высказываться об их связи, то говорят, что имеет место корреляционная связь.

Корреляционная связь - это связь, при которой определенному значению факторного признака соответствует лишь среднее значение результативного признака.

Связь между двумя признаками (результативным и факторным или двумя факторными) называется парной корреляцией.

Зависимость между результативным и одним факторным признаком при фиксированном значении других факторных признаков называется частной корреляцией. Зависимость же результативного признака и двух или более факторных признаков, включенных в исследование, называется множественной корреляцией.

Регрессия – это зависимость среднего значения какой-либо величины от некоторой другой величины или от нескольких величин. При регрессионной связи одному и тому же значению признака-фактора могут соответствовать в зависимости от случая различные значения величины признака-функции.

Регрессии различают:

1. Относительно числа явлений (переменных), учитываемых в регрессии:

а) простую регрессию (она представляет собой регрессию между двумя переменными);

б) множественную или частную регрессию (предполагается существование множества одновременно развивающихся, не зависимых друг от друга цепей причинно-следственных связей, среди которых часть может соответствовать прямой зависимости, а часть – обратной).

2. Относительно формы зависимости:

а) линейную регрессию, выражаемую линейной функцией;

б) нелинейную регрессию, выражаемую нелинейной функцией.

3. В зависимости от характера:

а) положительную регрессию;

б) отрицательную регрессию, которая ведет себя обратно положительной регрессии.

Расчет корреляций и расчет регрессий - это два последовательных этапа одного и того же анализа данных. Они выполняются в аналитическом режиме. Корреляции используются для качественного анализа: отбора взаимосвязанных факторов и выделения той части выборки, на которой теснота связи максимальна. Затем для отобранных факторов и подвыборки проводится количественный анализ: строятся регрессионные функции взаимосвязи.

Корреляционный анализ имеет своей задачей количественное определение тесноты связи между признаками (при парной связи) и между результативным и множеством факторных признаков (при многофакторной связи). Теснота связи количественно выражается величиной коэффициентов корреляции.

Регрессивный анализ заключается в определении аналитического выражения связи, в котором изменение результативного признака обуславливается влиянием одного или нескольких факторных признаков, а множество всех прочих факторов применяется за постоянные (или усредненные) величины.

Корреляционно-регрессивный анализ включает в себя измерение тесноты и направления связи, а также установление аналитического выражения (формы) связи.

При прямолинейной форме связи между признаком-функцией и признаком-фактором показатель тесноты связи двух признаков определяется по формуле линейного коэффициента корреляции r:

(24)

- среднее по признаку-функции;

- среднее по признаку-фактору;

- среднее по произведению признака-фактора и признака-функции;

- отклонение признака-фактора;

- среднее квадратическое отклонение признака-функции.

Индекс корреляции (форма корреляционного отношения), изменяющий криволинейную связь, определяется по формуле:

(25)

- общая дисперсия результативного признака, отображающая совокупное влияние всех признаков;

- остаточная дисперсия, отображающая вариацию результативного признака от всех прочих, кроме факторов–признаков.

Коэффициент корреляции принимает значения в интервале: или по модулю от 0 до 1. Чем ближе он по абсолютной величине к 1, тем теснее связь. Знак указывает направление связи: «+» - прямая зависимость, «-» имеет место при обратной зависимости.