2.4. Применение многозначных логик в системах искусственного интеллекта.

Применение многозначных логик в системах ИИ разберем на примере так называемых нечетких логик – пожалуй наиболее употребимых в задачах, где недостаточно классического представления об истинности (под «нечеткими» будем понимать логики, истинность в которых представляется числом из интервала [0, 1]).

Введем обозначения. Пусть a, b, c, d и так далее – некие высказывания (вопрос рассмотрим на уровне исчисления высказываний). С каждым высказыванием свяжем некоторое число ||a||  [0, 1] (аналогично ||b||, ||c||, ||d|| и так далее), называемое истинностью этого высказывания. В соответствующих моделях вместо термина «истинность» пользуются также терминами «фактор уверенности», «степень доверия», «мера» или «степень достоверности» и т.п. Название не важно.

Логический вывод в таких логиках сопровождается вычислением истинности заключения по значениям истинностей правила и посылки. Данный тип логического вывода получил название присоединенного вывода.

Истинности простых (атомарных) утверждений, в которых отсутствуют логические связки вроде И, ИЛИ, НЕ и т.д. обычно задается пользователем ЭС в процессе диалога.

Истинность сложного суждения, использующего логические связки И, ИЛИ, НЕ, вычисляется на основе факторов уверенности входящих в них атомарных утверждений по специальным правилам. Истинности правил-продукций (импликаций) задаются экспертами – разработчиками. Это  часть знаний системы.

Схемы обработки истинности высказываний, содержащих связки И, ИЛИ и НЕ в разных ЭС могут быть разными. Мы не будем рассматривать их все, а приведем некую обобщенную схему, которая в той или иной форме реализуется практически во всех системах присоединенного вывода. Для этого введем два определения.

Определение 1. Триангулированной нормой t(x,y) двух чисел x, y  [0, 1] называется функция, удовлетворяющая следующим четырем аксиомам:

1. t(x, y) = t(y, x) (коммутативность);

2. t(x, t(y, z)) = t(t(x, y), z)) (ассоциативность);

3. t(x, 1) = x; (наличие единицы);

4. t(x, y₁)  t(x, y₂), если y₁  y₂ (монотонность).

Определение 2. Триангулированной ко-нормой, или s-нормой, s(x,y) двух чисел x, y  [0, 1] называется функция, удовлетворяющая следующим четырем аксиомам:

1. s(x, y) = s(y, x) (коммутативность);

2. s(x, s(y, z)) = s(s(x, y), z)) (ассоциативность);

3. s(x, 0) = x; (наличие нуля);

4. s(x, y₁)  s(x, y₂), если y₁  y₂ (монотонность).

Мы добавим к перечисленным аксиомам еще пару свойств:

t((1  x), (1  y)) = 1  s(x, y);

s((1  x), (1  y)) = 1  t(x, y);

и назовем данные частные случаи t-нормы и s-нормы композиционным сложением и композиционным умножением  соответственно. Переобозначим доопределенные таким образом t-норму и s-норму как  и  согласно следующему:

t(x, y) = x  y;

s(x, y) = x  y.

Такая система обозначений выглядит более удобной, поскольку подчеркивает прямую аналогию между триангулированной нормой и ко-нормой и обычными арифметическими операциями сложения и умножения. Действительно, перечисленные свойства этих норм тогда выглядят следующим образом:

1. x  y = y  x; x  y = y x;

2. x  (y  z) = (x  y)  z; x  (y  z) = (x  y)  z;

3. x  1 = x; x  0 = x;

4. x  y₁  x  y₂, если y₁  y₂; x  y₁  x  y₂, если y₁  y₂;

5. (1  x)  (1  y) = 1  x  y;

6. (1  x)  (1  y) = 1  x  y.

Данная запись выглядит более простой и «прозрачной». Примерами триангулированных норм (композиционного сложения и умножения) являются функции:

x  y = min (x, y); x  y = max (x, y),

x  y = xy; x  y = x + y  xy,

x  y = max(0, x + y  1). x  y = min(1, x + y),

Пары к.сложений и умножений перечислены здесь в порядке их «употребимости». Наиболее употребимым является использование операции взятия максимума двух чисел в качестве сложения (t-нормы) и операции взятия минимума  в качестве умножения (s-нормы).

Свойства триангулированных норм. Среди свойств триангулированных норм помимо аксиом нужно указать следующие, вытекающие из аксиом:

x  0 = 0; x  1 = 1;

x  y  x (а также x  y  y); x  y  x (а также x  y  y);

x  y  x, y  x  y.

Определим с помощью введенных триангулированных норм (в «инфиксной» записи композиционного сложения и умножения) операции вычисления факторов уверенности сложных суждений.

Конъюнкция двух утверждений:

||a & b|| = ||a||  ||b||.

Дизъюнкция двух утверждений:

||a  b|| = ||a||  ||b||.

Истинность отрицания вычисляем проще, как

||a|| = 1  ||a||.

Из определения отрицания, а также из свойств 5) и 6) вытекают известные соотношения Де Моргана для нечеткой логики:

||(a  b)|| = ||a & b||;

||(a & b)|| = ||a  b||.

Вывод в нечетких логиках. Теперь, когда мы умеем вычислять истинности антецедентов продукционных правил (правда для исчисления высказываний), обсудим проблему логического вывода для нечетких логик подобного типа. Рассмотрим ее на примере правила modus ponens (МР). Типичная интерпретация правила МР на случай нечетких логик выглядит так:

a, a |- b : ||b|| = ||a|| ||ab||,

где через двоеточие указывается формула для расчета истинности заключения. Т.е. истинность заключения ||b|| равен композиционному произведению истинностей малой посылки ||a|| и большой посылки ||ab||. (Прим. следует помнить, что в качестве малой посылки может стоять достаточно сложное утверждение, включающее в себя логические связки и скобки). Поскольку композиционное произведение моделирует конъюнкцию, это означает, что ||b|| = ||a & ab||.

Вычисленное таким образом значение истинности заключения дает некий «гарантированный минимум» ||b||_min истинности. Точное ее значение находится в интервале, который может быть получен из следующих соображений. «Гарантированный минимум» истинности отрицания b рассчитываем как ||b||_min = ||a & (ab)|| = ||a||  ||(ab)||. Полагая, что ||b||_min = 1  ||b||_max и учитывая, что ||a|| = 1  ||a||, а также принимая во внимание аксиому композиционного сложения и умножения 5), выводим:

||b||_max = 1 – (||a||  ||(ab)||) = 1 – (||a||  (1 – ||(ab)||)) = 1 – (1  (1  ||a||)  ||(ab)||) =

= 1 – (1  ||a||  ||(ab)||) = ||a||  ||ab||.

Таким образом, получаем:

a, a |- b : ||b|| = [ ||a||  ||ab||, ||a||  ||ab|| ].

Присоединенный вывод на основе правила modus tollens (MT) в свою очередь строится по схеме:

b, a |- a : ||a|| = [ ||b||  ||ab||, ||b||  ||ab|| ].

Принцип накопления свидетельств при неточном выводе. Одной из особенностей неточного вывода является возможность повышать фактор уверенности суждений, которые получены из различных источников. Например, по нескольким правилам. Так, если утверждение c получено из правила ac и правила bc, а истинность каждого из них равна ||c||_a, ||c||_b соответственно, то «итоговое» значение фактора уверенности можно принять равным, например,

||c|| = ||c||_a  ||c||_b.

В силу свойств триангулированной нормы, ||c||  ||c||_a и ||c||  ||c||_b. Т.е. итоговая истинность возросла.

В некоторых ЭС, например системе MYCIN, истинность задается на интервале [1, 1], где 1 соответствует строгой лжи, а 1  строгой истине. Здесь комбинирование свидетельств производится по разным формулам для случая, когда ||c||_a и ||c||_b совместно больше или меньше нуля и когда их знаки разные:

||c|| = ||c||_a + ||c||_b  ||c||_a ||c||_b, при ||c||_a  0 и ||c||_b  0, либо ||c||_a  0 и ||c||_b  0;

(композиционное сложение по схеме x  y = x + y  xy) и

, при sign(||c||_a)  sign(||c||_b),

В классической логике проблема накопления свидетельств отсутствует. Вывод, полученный по одному правилу, ничуть не хуже вывода, полученного из нескольких правил. Однако если система работает в условиях дефицита информации, ее противоречивости, возможность накапливать свидетельства становится принципиально важной. Интересно, что люди в своем большинстве при недостатке и низком качестве информации поступают так же.