Формирование функции принадлежности

При построении функций принадлежности используются мнения экспертов в предметной области.

Классификация методов формирования функции принадлежности.

Все методы формирования функций принадлежности делятся на методы, в которых участвует один эксперт и методы, в которых обрабатываются мнения группы экспертов. При этом в каждом классе методов выделяются прямые и косвенные методы.

В прямых методах значения степени принадлежности назначаются непосредственно самими экспертами либо эксперты сообщают способ вычисления значений функции принадлежности.

В косвенных методах осуществляется сравнительная оценка вариантов. В этом случае для построения функции принадлежности формируется матрица парных сравнений М. Элементы m_{i j} матрицы М показывают, во сколько раз, по мнению эксперта, _А(х _i) больше, чем _А(х _j) .

Рассмотрим подробнее все методы.

1. Прямой метод с одним экспертом. В этом случае эксперта просят непосредственно дать оценку функции принадлежности.

2. Прямой метод с несколькими экспертами. Один из простейших методов, в котором используется мнение нескольких экспертов. Каждый из них отвечает на прямой вопрос: «Соответствует ли значение х_i оцениваемому понятию?”. Допускаются ответы «Да» или «Нет». Пусть n₁ экспертов дают положительный ответ на вопрос о принадлежности элемента Х = { 10, 11, 12,…,40 } нечеткому множеству А, а n₂ - отрицательный. Тогда за значение _А(х _i) принимается отношение n₁ / (n₁ + n₂).

ПРИМЕР. Пусть в опросе участвовали 10 экспертов. Оценивались элементы универсального множества Х = {10, 20, 30,…,100} на принадлежность нечеткому множеству, формализующему понятие «Малая скорость автомобиля».

Получены следующие результаты (таблица 1).

Таблица 1

Значения хi	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
Число положительных ответов	10	9	6	4	3	0	0	0	0	0
Число отрицательных ответов	0	1	4	6	7	10	10	10	10	10

Таким образом, имеем:

_А(10)=1; _А(20)= 0,9; _А(30)=0,6; _А(40)=0,4; _А(50)=0,3; _А(60)=0;

_А(70)=0; _А(80)=0; _А(90)=0; _А(100)=0.

3. Косвенный метод с одним экспертом. Косвенные методы используются обычно в случаях, когда трудно или невозможно использовать количественную оценку для элементов х_i . Тогда высказывается мнение о предпочтительности вариантов. Один из подходов следующий. Эксперту задаются вопросы: что лучше соответствует понятию х_i или х_j. В результате формируется матрица парных сравнений М = { m _{i j}} i,j = 1,n, где n – количество элементов универсального множества.

Значения m _{i j} формируются с использованием следующей шкалы:

1, если _А(х_i) и _А(х_j) примерно равны, т.е. элементы х_i и х_j имеют одинаковую значимость;

3, если _А(х_i) немного больше, чем _А(х_j) , т.е. существуют малоубедительное предпочтение;

5, если _А(х_i) больше, чем _А(х_j) , т.е. имеются доказательства превосходства ;

7, если _А(х_i) заметно больше, чем _А(х_j) , т.е. можно привести убедительные свидетельства очевидного превосходства х_i;

9, если _А(х_i) намного больше, чем _А(х_j), значит эксперт убежден в абсолютном превосходстве х_i.

Возможны промежуточные значения, 2, 4, 6, 8, в случае более уточненных оценок, даваемых экспертом. Так m_{i j} = 5 означает, что элемент х _i лучше, чем х _j соответствует понятию, описываемому нечетким множеством, для которого строится функция принадлежности. На элементы матрицы парных _i сравнений накладываются требования согласованности: m_ii = 1 и m_ii = 1/ m _{i j} .

Далее осуществляется обработка элементов матрицы. Один из подходов – следующий:

_А(х_i) = m_{i j} /  _i m _{i j} .

При использовании данного метода _А(х_i)>1. Такая функция называется ненормированной. Чтобы добиться _А(х_i)<1, результаты расчетов нормируются:

_А(х_i)= _А(х_i) / max{_А(х_i)}.

При этом в качестве j может быть выбрано любое значение от 1 до n, т.е. при правильно проведенном опросе выбор столбца матрицы М не влияет на правильное определение значений функции принадлежности.

ПРИМЕР. Пусть в результате опроса экспертов получена матрица М: