26. Моделирование тенденции временных рядов (аналитическое выравнивание)

Метод аналитического выравнивания с помощью функций времени или кривых роста является основным методом представления тренда в аналитическом виде, используемым в эконометрике. Суть данного метода заключается в аппроксимации временного ряда определённой формой регрессионной кривой. При этом наиболее проблематичным является вопрос о выборе функции тренда.

Выбор выравнивающей кривой может осуществляться на основании заранее заданных критериев, к которым относятся:

1) множественный коэффициент детерминации;

2) сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений временного ряда от теоретических значений (рассчитанных с помощью функции тренда).

Методом конечных разностей называется метод, позволяющий подобрать подходящую форму кривой. Его применение возможно в том случае, если временной ряд содержит равностоящие друг от друга уровни.

Конечной разностью первого порядка (разностным оператором первого порядка) называется разность между соседними уровнями временного ряда:

∆^t₁ = ∆_yt+1 – y_t + y^t, (t = 2,…,n)

Разностным оператором второго порядка (конечной разностью второго порядка) называется разность между соседними разностными операторами первого порядка:

∆^t₂ = y_t+1 – 2y_t + y_t+1, (t=3,…,n)

В общем случае разностным оператором i-го порядка называется разность между соседними разностными операторами (i-1)-го порядка:

∆^t_i = ∆^t_i-1 - ∆^t-1_i-1 , (t = i+n,…,n)

• Если разностные операторы первого порядка постоянны и равны между собой

∆²₁ = ∆³₁ = … = ∆ⁿ₁

а разностные операторы второго порядка равны нулю

∆³₂ = ∆⁴₂ = … = ∆ⁿ₂ = 0

то тренд изучаемого временного ряда можно аппроксимировать линейной функцией вида y=a+β*t+ε.

• Если разностные операторы второго порядка постоянны и равны между собой

∆³₂ = ∆⁴₂ = … = ∆ⁿ₂

а разностные операторы третьего порядка равны нулю

∆⁴₃ = ∆⁵₃ = … = ∆ⁿ₃ = 0

то тренд изучаемого временного ряда можно аппроксимировать параболической функцией второго порядка вида y=a+β1*t+β2*t2..

Следовательно, порядок разностных операторов, являющихся постоянными для данного временного ряда, определяет степень уравнения тренда: y=∑βj*tj.

Оценки неизвестных коэффициентов уравнения тренда рассчитываются с помощью классического метода наименьших квадратов.Если тренд временного ряда можно аппроксимировать линейной функцией, то её коэффициенты можно рассчитать с помощью метода моментов. При этом в модель вводится новая переменная времени T, началом координат которой является середина временного ряда. Таким образом, её сумма по всем элементам равняется нулю.

Линейная модель регрессии с учётом новой переменной принимает вид: y_t = a+β*T_t + ε_t.

Оценки неизвестных коэффициентов данной модели рассчитываются из системы нормальных уравнений:

an = ∑yt

β∑T²_t = ∑ytTt

Решением данной системы будут оценки коэффициентов уравнения тренда:

a = (∑yt) / n

β = (∑y_tT_t) / ∑T²_t

27. Мультиколлинеарность факторов – понятие, проявление и меры устранения

Наибольшие затруднения в использовании аппарата множественной регрессии возникают при наличии мультиколлинеарности факторных переменных, когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимостью.

Мультиколлинеарностью для линейной множественной регрессии называется наличие линейной зависимости между факторными переменными, включёнными в модель.

Мультиколлинеарность – нарушение одного из основных условий, лежащих в основе построения линейной модели множественной регрессии.

Чем сильнее мультиколлинеарность факторных переменных, тем менее надежной является оценка распределения суммы объясненной вариации по отдельным факторам с помощью метода наименьших квадратов.

Обнаружение мультиколлинеарности.

Конкретных методов обнаружения мультиколлинеарности не существует, а принято применять ряд эмпирических приёмов. В большинстве случаев множественный регрессионный анализ начинается с рассмотрения корреляционной матрицы факторных переменных R или матрицы (ХТХ).

Корреляционной матрицей факторных переменных называется симметричная относительно главной диагонали матрица линейных коэффициентов парной корреляции факторных переменных:

r₁₁ r₁₂ … r_1n 1 r₁₂ … r_1n

r₂₁ r₂₂ … r_2n r₂₁ 1 … r_2n

R = … … … … = … … … …

r_n1 r_n2 … r_nn r_n1 r_n2 … 1

где rij – линейный коэффициент парной корреляции между i-м и j-ым факторными переменными,

i, j = 1,…,n

При рассмотрении данной матрицы с целью выявления мультиколлинеарных факторов руководствуются следующими правилами:

1) если в корреляционной матрице факторных переменных присутствуют коэффициенты парной корреляции по абсолютной величине большие 0,8, то делают вывод, что в данной модели множественной регрессии существует мультиколлинеарность;

2) вычисляют собственные числа корреляционной матрицы факторных переменных λmin и λmax. Если λmin‹10-5, то в модели регрессии присутствует мультиколлинеарность. Если отношение

Λmin / λmax < 10^-5

то также делают вывод о наличии мультиколлинеарных факторных переменных;

3) вычисляют определитель корреляционной матрицы факторных переменных. Если его величина очень мала, то в модели регрессии присутствует мультиколлинеарность.

Способы устранения мультиколлинеарности:

1) один из наиболее простых способов устранения мультиколлинеарности состоит в получении дополнительных данных. Однако на практике в некоторых случаях реализация данного метода может быть весьма затруднительна;

2) способ преобразования переменных, например, вместо значений всех переменных, участвующих в модели (и результативной в том числе) можно взять их логарифмы:

Если рассмотренные способы не помогли устранить мультиколлинеарность факторов, то переходят к использованию смещённых методов оценки неизвестных параметров модели регрессии, или методов исключения переменных из модели множественной регрессии.

Если ни одну из факторных переменных, включённых в модель множественной регрессии, исключить нельзя, то применяют один из основных смещённых методов оценки коэффициентов модели регрессии – гребневую регрессию или ридж, а также метод компонент и метод пошагового включения.