31.Ожидаемое значение случайной переменной, её дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожидание (ожидаемое или среднее значение) Е(х) находится по формуле:

Где P_x(q_i) – это вероятность появления в опыте значения q_i случайной переменной х.

Е(х) – это константа, вокруг которой рассеяны возможные значения q случайной переменной х.

Дисперсия Var (x) – это средний квадрат разброса возможных значений случайной переменной х относительно ее ожидаемого значения:

Либо по формуле: σ² = Е(х²) – m²

Так что Var (x) – это тоже константа, физическая размерность которой равна квадрату физической размерности значений х.

Положительный квадратный корень из дисперсии именуется средним квадратическим отклонением (СКО): σ = (Var (x))^(1/2). Размерность σ и х совпадают. Константа σ (как и σ²) служит характеристикой неопределенности (изменчивости) х.

Для отыскания величин σ², m нужно знать закон распределения P_x(q) случайной переменной х. Часто этот закон неизвестен, и тогда можно оценить (приближенно определить) характеристики σ², m по результатам n независимых наблюдений (опытов) над х (х₁, х₂,…, х_n), где x_i – это случайная переменная с одним и тем же законом распределения P_x(q), при этом величины x_i – независимы. Кроме того, с ростом количества наблюдений n точность следующих формул, используемых в данном случае, возрастает:

32.Основные числовые характеристики вектора остатков в классической множественной регрессионной модели

Классическая линейная модель множественной регрессии (КЛММР) представляет собой простейшую версию конкретизации требований к общему виду функции регрессии f(X), природе объясняющих переменных X и статистических регрессионных остатков (Х) в общих уравнениях регрессионной связи. В рамках КЛММР эти требования формулируются следующим образом:

Из (2.5) следует, что в рамках КЛММР рассматриваются только линейные функции регрессии, т.е.

где объясняющие переменные x⁽¹⁾, x⁽²⁾,…, x^(p) играют роль неслучайных параметров, от которых зависит закон распределения вероятностей результирующей переменной y. Это, в частности, означает, что в повторяющихся выборочных наблюдениях (x_i⁽¹⁾, x_i⁽²⁾,..., х_i^(p); y_i) единственным источником случайных возмущений значений y_i являются случайные возмущения регрессионных остатков _i.

Кроме того, постулируется взаимная некоррелированность случайных регрессионных остатков (E(_i_j) = 0 для i  j). Это требование к регрессионным остаткам ₁,...,_n относится к основным предположениям классической модели и оказывается вполне естественным в широком классе реальных ситуаций, особенно, если речь идет о пространственных выборках (2.4^а)-(2.4^б), т.е. о ситуациях, когда значения анализируемых переменных регистрируются на различных объектах (индивидуумах, семьях, предприятиях, банках, регионах и т. п.). В этом случае данное предположение означает, что «возмущения» (регрессионные остатки), получающиеся при наблюдении одного какого-либо обследуемого объекта, не влияют на «возмущения», характеризующие наблюдения над другими объектами, и наоборот.

Тот факт, что для всех остатков ₁,₂,...,_n выполняется соотношение E_i²; =² , где величина ² от номера наблюдения i не зависит, означает неизменность (постоянство, независимость от того, при каких значениях объясняющих переменных производятся наблюдения) дисперсий регрессионных остатков. Последнее свойство принято называть гомоскедастичностью регрессионных остатков.