41.Інтегрування ірраціональностей виду

Інтеграл  зводиться до інтеграла від раціональної функції  за допомогою підстановки деспільний знаменник дробів

Інтеграл  зводиться до інтеграла від раціональної функції за допомогою підстановки де спільний знаменник дробів

42. Інтегрування диференціального бінома

Інтеграл від диференціального бінома має вигляд

,

де — раціональні числа.

За теоремою Чебишова цей інтеграл може бути зведено до інтегрування раціональних функцій лише у таких випадках:

1. , підстановка , де — найменше спільне кратне знаменників дробів та .

2.  — ціле, підстановка , де — знаменник дробу .

3.  — ціле, підстановка , де — знаменник дробу .

44.Поняття визначеного інтеграла. Геометричний зміст визначеного інтеграла

Нехай — деяка функція, що задана на проміжку [a; b]. Розіб’ємо [a; b] на n частин точками так що

Обчислимо де

Складемо інтегральну суму .

Позначимо .

Означення. Якщо існує скінченна границя інтегральних сум S_n при і не залежить ні від способу розбиття [a; b] на частини , ні від вибору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції на проміжку [a; b] і позначається:

,

де — знак визначеного інтеграла;

а, b — нижня та верхня межі інтегрування;

f(x) — підінтегральна функція;

f(x) dx — підінтегральний вираз;

dx — диференціал змінної інтегрування.

Геометричний зміст визначеного інтеграла

Якщо , то дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції (рис. 7.4).

45.Формула Ньютона-Лейніца.

Якщо функція — неперервна для то визначений інтеграл від функції на проміжку дорівнює приросту первісної функції на цьому проміжку, тобто

де

Позначимо дію подвійної підстановки так:

тоді зв’язок між визначеним та невизначеним інтегралами можна подати такою рівністю:

Наслідок. Для обчислення визначеного інтеграла достатньо знайти одну із первісних підінтегральних функцій і виконати над нею подвійну підстановку.

66..Ряд Фурє

Функція , що задовольняє умови Діріхле на відрізку на інтервалі може бути визначена тригонометричним рядом Фур’є:

(9.26)

де коефіцієнти Фур’є та обчислюються за такими формулами:

Зауваження. Якщо функція — парна, то в (9.26) , а якщо — не парна, то .

Теорема 18 (ознака Діріхле). Якщо — періодична функція з періодом 2π задовольняє умови Діріхле на відрізку , то її ряд Фур’є збіжний, а його сума в точці х₀ дорівнює:

1. якщо — неперервна в точці х₀;

2. якщо — точка розриву для

67.Означення. Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке містить похідну шуканої функції. Найбільший порядок похідних називається порядком диференціального рівняння.

У загальному випадку диференціальне рівняння n-го порядку має вигляд

Як правило, ДР має нескінченну множину розв’язків. Так, диференціальне рівняння у  = 2у має розв’язок у = Се^2х, де С — довільний сталий параметр.

Якщо шукана функція у = у(х) залежить від одного аргументу, то ДР для у(х) називається звичайним.

Якщо шукана функція залежить від кількох аргументів, то маємо ДР з частинними похідними. У цьому розділі викладаються лише звичайні ДР.