- •35.Комплексні числа та дії з ними в тригонометричній формі.
- •37. Властивості невизначеного інтеграла
- •38.Метод підстановки (заміна змінної інтегрування) інтегрування частинами
- •39.Інтегрування раціональних дробів.
- •41.Інтегрування ірраціональностей виду
- •42. Інтегрування диференціального бінома
- •44.Поняття визначеного інтеграла. Геометричний зміст визначеного інтеграла
- •Геометричний зміст визначеного інтеграла
- •45.Формула Ньютона-Лейніца.
- •68.Відокремлені і відокремлюванні зміні.
- •55. Властивості чр
- •62Абсолютна і умовна збіжність ряду.
- •60. Інтегральна ознака коші Збіжності ряду
- •52. Застосування інтегралів в економіці
- •58. Ознака Даламбера
- •64.Радіус збіжності
- •Виведемо формулу для знаходження радіуса збіжності ряду. Для цього побудуємо ряд із абсолютних величин членів ряду:(1):
- •74. Структура заг.Розв.Лінйного неоднорідного др.
- •46.Заміна змінних у визначеному інтегралі. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •47.Невласні інтеграли 1 і 2 роду.
46.Заміна змінних у визначеному інтегралі. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
Якщо: 1) — неперервна для ; 2) 3) та — неперервні для 4) при то
Зауваження. При заміні змінної інтегрування у визначеному інтегралі змінюються межі інтегрування, і тому нема потреби повертатись до початкової змінної.
Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
Теорема 11. Якщо функції та мають неперервні похідні для , то
47.Невласні інтеграли 1 і 2 роду.
Означення. Границя при називається невласним інтегралом від функції f(x) на нескінченному проміжку і позначається так: .
Якщо ця границя існує та скінченна, то невласний інтеграл називається збіжним, а якщо не існує (зокрема нескінченна), то — розбіжним.Якщо f(x) — інтегровна для скінченних a та b, тобто формули для обчислення невласних інтегралів на нескінченному проміжку мають вигляд:
де
53.Подвійний інтеграл та його обчисленняОзначення. Якщо існує та не залежить ні від способу розбиття області D на частини, ні від вибору точок Mi, то ця границя називається подвійним інтегралом від функції по області D і позначається так:
Заміна змінних інтегрування в подвійному інтегралі
Нехай у подвійному інтегралі (7.36) треба зробити перехід від змінних до змінних , тобто перейти від декартової системи координат до довільної системи координат за формулами , , які відомі.
Для цього необхідно обчислити елементарну площу в новій системі координат .
Диференціал радіуса-вектора в системі має вигляд:
.
Отже, елементарну площу у декартовій системі координат можна знайти як модуль векторного добутку векторів:
.
У довільній системі координат
, а елементарна площа буде такою: