62Абсолютна і умовна збіжність ряду.

Означення. Ряд називається знакозмінним, якщо він містить нескінченне число як додатних, так і від’ємних членів.

Теорема 12 (Коші). Якщо збігається ряд із абсолютних величин членів знакозмінного ряду, то збігається і знакозмінний ряд, тобто

Означення. Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд із абсолютних величин членів знакозмінного ряду.Означення. Знакозмінний ряд називається умовно збіжним, якщо цей ряд збігається, а ряд із абсолютних величин його членів розбігається.Зауваження. Якщо знакозмінний ряд збігається абсолютно, то його збіжність зумовлена достатнім спаданням за абсолютною величиною його членів.Зауваження. Якщо знакозмінний ряд збігається умовно, то його збіжність зумовлена не тільки спаданням за абсолютною величиною його членів, але і взаємною компенсацією додатних і від’ємних членів ряду.

60. Інтегральна ознака коші Збіжності ряду

Ознака Коші (радикальна)). Якщо для ряду з додатними членами існує границя , тоді: при ряд збігається;при ряд розбігається;при питання про збіжність ряду ознака не вирішує. (Ознака Коші (інтегральна)). Якщо функція неперервна, додатна і монотонно спадає при то ряд і невластивий інтеграл збігаються або розбігаються разом.

63. Перша теорема Абеля: Нехай ряд є збіжним в точці x₀. Тоді цей ряд є абсолютно збіжним в кругу | x | < | x₀ | рівномірно по x на будь-якій компактній підмножині цього круга.Навпаки, якщо степеневий ряд є розбіжним при x = x₀, він є розбіжним при всіх x, таких що | x | > | x₀ | . З першої теореми Абеля також випливає, що існує такий радіус круга R (можливо, нульовий або нескінченний), що при | x | < R ряд є абсолютно збіжним (і збіжність є рівномірною по x на компактних підмножинах круга | x | < R), а при | x | > R ряд є розбіжним. Це значення R називається радіусом збіжності ряду, а круг | x | < R — кругом збіжності. Якщо степеневий ряд:

1) збігається при х = х₀, то він абсолютно збігається для будь-якого х, що задовольняє нерівність ;

2) якщо ряд

розбігається при х = х₁, то він розбігається при всіх х, що задовольняють нерівність.

66Поняття тригонометричного ряду, розклад функцій в ряд Фур’є. Функція , що задовольняє умови Діріхле на відрізку на інтервалі може бути визначена тригонометричним рядом Фур’є:

(9.26)

де коефіцієнти Фур’є та обчислюються за такими формулами:

Зауваження. Якщо функція — парна, то в (9.26) , а якщо — не парна, то .

Теорема 18 (ознака Діріхле). Якщо — періодична функція з періодом 2π задовольняє умови Діріхле на відрізку , то її ряд Фур’є збіжний, а його сума в точці х₀ дорівнює:

1. якщо — неперервна в точці х₀;

2. якщо — точка розриву для

52. Застосування інтегралів в економіці

Визначення загального обсягу випущеної продукції Нехай деяка фірма випускає один вид продукції, використовуючи один ресурс. Виробнича функція фірми має вигляд q=q(x), де x - затрати ресурсу, а q - обсяг випуску. Затрати ресурсу x є функцією від часу t, наприклад, x=x(t).Тоді загальний обсяг продукції Q за час від T0 до T1 обчислюється за допомогою визначеного інтегралу.При, x(t)=100e0,2t, T0=0 та T1=5 (років) загальний обсяг випущеної за п’ять років продукції2. Визначення коефіцієнта Джинні Нехай y=y(x) - частка (доля) приватного капіталу деякої країни, яка перебуває у власності групи людей, що становлять частку (долю) x населення цієї країни.Наприклад, у тому випадку, коли 30% населення володіє 10% капіталу, 60% населеня ¬ 35% капіталу, і 85% ¬ 60% капіталу, маємо таке:y(0,3)=0,1;y(0,6)=0,35;y(0,85)=0,6.

Очевидно, що завжди y(0)=0 та y(1)=1.

57. Порівняння з додатними членами.

Розглядаємо два ряди з додатними членами

(1) (12)

(2) (13)

Теорема 5.8. Нехай з деякого номера n виконується нерівність u_n  v_n. Тоді із збіжності ряду (2) випливає збіжність ряду (1), а із розбіжності ряду (1) випливає розбіжність ряду (2).Доведення. Оскільки відкидання скінченної кількості членів ряду не впливає на його збіжність, то можна вважати, що нерівність u_n  v_n виконується для всіх членів рядів. Якщо збігається ряд (2), то всі його частинні суми обмежені зверху. З огляду на це всі частинні суми ряду (13) теж обмежені зверху і, отже, ряд (1) збігається.Якщо ряд (1) розбігається, то ряд (2) не може збігатися, бо за доведеним вище із збіжності ряду (2) випливає збіжність ряду (1). Теорему доведено.