8.4. Экстремум функции

Определение 1. Точка x₀ называется точкой максимума функ­ции f(x), если в некоторой окрестности точки х₀ выполняется нера­венство f(х)<f(х₀) (см.рис. 8.6).

Определение 2. Точка х₁ называется точкой минимума функции f(х), если в некоторой окрестности точки х₁ выполняется неравен­ство f(x)>f(х₁) (см.рис 8.6).

Значения функции в точках х₀ и х₁ называются соответст­венно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Экстремум функции часто называют локальным экстремумом, подчеркивая тот факт, что понятие экстремума связано лишь с Достаточно малой окрестностью точки х₀. Так что на одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, Причем может случиться, что минимум в одной точке больше максимума в другой.

Необходимое условие экстремума. Если в точке х₀ Дифферен­цируемая функция

у = f(х) имеет экстремум, то в некоторой ок­рестности этой точки выполнены условия теоремы Ферма и, следовательно, производная функции в этой точке рав­на нулю, т.е. f’ (х₀)=0. Но функция может иметь экстремум и в точках, в которых она не дифференцируема.

Необходимое условие экстремума.

Для того, чтобы функция у =f(х) имела экстремум в точке х₀,

необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю f'(x₀)=0 или не существовала.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстрему­ма, т.е. производная равна нулю или не существует, называются критическими (или стационарными). Обращаем внимание на то, что эти точки, должны входить в область определения функции.

Таким образом, если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта точка критическая. Очень важно, однако, заметить, что обратное утверждение неверно. Критическая точка вовсе не обя­зательно является точкой экстремума.

Первое достаточное условие экстремума. Теорема. Если при переходе через точку х₀ производная дифференцируемой функции y=f(x) меняет свой знак с плюса на минус, то точка х₀ есть точка максимума функции у f(х), а если с минуса на плюс, — то точка минимума.

Схема исследования функции у=(х) на экстремум.

1°. Найти производную y^’=f^’’(х).

2°. Найти критические точки функции, в которых производ­ная f’(x)=0 или не существует.

3°. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

4°. Найти экстремумы (экстремальные значения функции)

Второе достаточное условие экстремума. Теорема. Если первая производная f (х) дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке х₀, а вторая производная в этой точке f " (х₀) положительна, то х₀ есть точка минимума функции f' (x); если f" (х₀) отрицательна, то х₀ — точка максимума.

Второе достаточное условие экстремума утверждает, что если в критической точке х₀ f"(х₀)равно0, то в 'этой точке имеется экс­тремум. Обратное утверждение, однако, неверно. Экстремум в критической точке может быть и при равенстве в ней нулю вто­рой производной.

Определение 1* Функция у-/(х) называется выпуклой вниз на

промежутке Х₉ если для любых двух значений х_х, х₂ эХ из этого промежутка выполняется неравенство:

Определение 2. Функция называется выпуклой вверх¹ на проме­жутке Х> если для любых двух значений х_х, х^ эХ из этого проме­жутка выполняется неравенство:

Теорема. Функция выпукла вниз (вверх) на промежутке X тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).

Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого проме­жутка X, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

□ Если f"(x)=(f’(x))’>0, х э Х, то f ’(x) возрастает на промежутке X, следовательно, на основании предыдущей теоремы функция выпукла на промежутке X. Аналогично рассматривается случай

F "(x )<0, х э Х

Необходимое условие выпуклости слабее: если функция вы­пукла на промежутке Х₀ то можно утверждать лишь, что f"(x)>=0 или f"(х)<0 х э Х. Например, функция у=х⁴ выпукла на всей числовой оси, хотя вторая производная у"=12х² не всюду поло­жительна: при x=0; f"(0)=0.

Определение. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Из вышесказанного следует, что точки перегиба — это точки экстремума первой производной. Отсюда вытекают следующие утверждения.

Теорема (необходимое условие перегиба). Вторая производная f'(x) дважды дифференцируемой функции в точке перегиба х₀ равна нулю, т.е. f"(x)=0.

Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба:

1°. Найти вторую производную функции f"(x).

2°. Найти точки, в которых вторая производная f"(x)=Q или не существует.

3°. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.

4°. Найти значения функции в точках перегиба.

Первообразная функция и неопределенный интеграл

Определение. Функция f(х) называется первообразной функцией для функции f(х) на промежутке X, если в каждой точке х этого промежутка F'(х)=f(х).

Теорема. Если F₁(х) и F₂(х) - первообразные для функции f(х)

на некотором промежутке X, то найдется такое число С, что бу­дет справедливо равенство:

F₂(x)=F₁(x)+C

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(х) на промежутке X называется неопределенным интегралом от

функции f(х) и обозначается знак интеграла,