- •1.Матрицы и действия над ними. Умножение матриц.
- •4. Обратная матрица и ее вычисление.
- •5. Система линейных уравнений. Формулы Крамера.
- •6) Матричный метод решения системы уравнений. Метод Гаусса.
- •8. Скалярное произведение векторов и его свойства. Угол между двумя векторами в координатной форме. Условие ортогональности двух векторов.
- •9. Векторное произведение двух векторов, его свойства и геометрический смысл.
- •2. Свойства векторного произведения.
- •10. Смешанное произведение трех векторов и его геометрический смысл. Условие компланарности векторов.
- •4. Свойства смешанного произведения.
- •11. Параметрическое и каноническое уравнения прямой на плоскости.
- •16. Уравнения линий на плоскости. Кривые второго порядка: окружность и эллипс.
- •17. Гипербола и ее каноническое уравнение.
- •18. Парабола и ее каноническое уравнение.
- •19. Полярные координаты на плоскости. Связь между полярными и декартовыми координатами.
- •20. Функция. Способы задания функции. Основные характеристики функции.
- •Определение 1. Абсолютной величиной или модулем действительного числа называется само это число, если и число , если :
- •22. Числовая последовательность и ее предел. Сходимость числовой последовательности.
- •23. Предел функции в точке, предел функции в бесконечности. Бесконечно малые функции. Предел монотонных функций.
- •24. Первый замечательный предел.
- •25. Второй замечательный предел.
- •27. Точки разрывов, их классификация.
- •28. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.
- •29. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
- •30. Правила нахождения производной: производная произведения и производная частного.
- •32. Производные основных элементарных функций.
- •34. Логарифмическая производная.
- •35. Дифференцирование функций, заданных в параметрической форме. Неявная функция и ее производная.
- •36. Дифференциал функции, его свойства и геометрический смысл. Производные высших порядков.
- •37. Теорема Ферма и теорема Ролля.
- •38. Теорема Лагранжа и теорема Коши.
- •39. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
1.Матрицы и действия над ними. Умножение матриц.
Матрица – таблица чисел вида -
Если число м не равно н, то матрица прямо – линейная, если равно то квадрат. ( ) – главная диагональ. Матрица из одной строки – матрица строка. Матрица из одной столбца – матрица столбец. Ноль матрица – все элементы нули. Матрица, у которой на главной диагонали единицы, а остальные нули – единичная матрица, значится Е. В транспонированной , если она получатся из исходной при замене строк на столбцы. = =В Сумма двух матриц называется матрица С по формуле: А+В=С
1)А+В=В+А – коммутативность. 2) (А+В)+С = А+(В+С) – ассоциативность. 3)А+0=А Матрицы можно умножать на число. А*К=В К – любое число. Произведение матрицы на матрицу. А*В=С Из формулы видно, что произведение возможно только, если число столбцов равно числу строк. Свойство умножения: 1)А*В # В*А – не коммутативность А*В=В*А – коммутативность. 2) (А*В)*С=АС+ВС – дистрибутивность. 3)А*Е=А=Е*А
2. Алгебраические дополнения и миноры. Определители второго порядка и их свойства. Алгебраическим дополнением элемента aij матрицы A называется число Aij = ( − 1)i + jMij, где Mij — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы A путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.
Минор. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.
Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством det А = а11а22 - а12а21. Диагональ, образованная элементами а11 и а22 называется главной. Диагональ, образованная элементами а12 и а21 называется побочной. Свойства: 1) Определитель не изменится, если его строки поменять местами. 2) Если в определители поменять местами любые 2 строки или столбца, то он изменит свой знак на противоположный. 3) Если строка (столбец) в определителе имеет общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя. 4) Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами), равен нулю. 5) Если все элементы какой-либо строки или столбца прибавить элементы другой строки или столбца умноженное на одно и то же число, то определитель не изменится .3. Определители третьего порядка. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу). Понятие об определителях n-го порядка.
Определитель n-порядка равен сумме попарных произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на их алгебраических дополнений. Замечание: 1)Рекомендуется открывать определитель, где больше нулей. 2)Все свойства определителя 2 порядка справедливы для n-порядка.
4. Обратная матрица и ее вычисление.
Определение 2.1. Если – квадратная матрица, то обратной для нее матрицей называется матрица, обозначаемая и удовлетворяющая условию
. (1)
Можно доказать, что матрицы и являются коммутативными: .
Теорема 2.1(об обратной матрице). Для того, чтобы квадратная матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной, т.е. чтобы ее определитель был отличен от нуля . При этом
,
где – алгебраическое дополнение элемента .