- •Вопросы к зачету по курсу «логика» («логика и дискретная математика»)
- •Логика как наука, ее предмет, структура, значение.
- •Виды логик.
- •Понятие как форма мышления.
- •Понятие и представление. Понятие и термин. Определение и структура понятия.
- •Виды понятий.
- •Классификация понятий.
- •9. Объединенная классификация суждений по количеству и качеству.
- •10. Виды суждений, не рассматриваемых в классической логике.
- •11. Комплексный анализ простого категорического суждения.
- •12. Умозаключения.
- •13. Дедуктивные умозаключения.
- •14. Силлогистика. Основные понятия.
- •15. Индуктивные умозаключения и их виды.
- •Индукция через простое перечисление
- •II. Индукция через анализ и отбор фактов.
- •III. Научная индукция.
- •16. Логические основы теории аргументации.
- •17. Виды и правила доказательства и опровержения.
- •18. Основные законы логики (тождества, противоречия, исключенного третьего, достаточного основания).
- •19. Суждения и высказывания как формы мышления.
- •20. Основные операции над высказываниями. Таблицы истинности.
- •21. Эквивалентные высказывания и логические законы.
- •22. Одноместные предикаты: основные понятия.
- •23. Одноместные предикаты: использование кванторов общности и существования.
- •24. Двухместные предикаты: основные понятия.
21. Эквивалентные высказывания и логические законы.
Сложные высказывания можно рассматривать как простые, обозначая их одной буквой.
Например, высказывание “a/\b” можно обозначить буквой “с” .
При этом логическое значение “с” зависит от значений “a” и “b”.
Сложное высказывание может включать в себя несколько операций, в этом случае для понимания смысла высказывания необходимо ставить скобки. Например, для выяснения значения высказывания “a=>b/\c” сначала выполняется импликация или конъюнкция?
Для краткости некоторые скобки можно опускать. При этом нужно
руководствоваться следующей таблицей приоритетов (первой
выполняется операция отрицания):
операция |
запись |
обозначает |
/\ |
a/\bVc |
(a/\b)Vc |
V |
a=>bVc |
a=>(bVc) |
=> |
a=>bóc |
(a=>b)óc |
ó |
a/\bócVd |
(a/\b)ó(cVd) |
Пример: нужно убрать лишние скобки в выражении:
((d/\f)=>(eVc)) ó((a=>b)/\d).
В результате получим: d/\f=>eVcó(a=>b) /\ d
Каждое сложное высказывание представляет собой функцию входящих в него простых высказываний. Для записи логической структуры, таких высказываний используются формулы.
Два высказывания “x” и “y” называются равносильными, если при всех возможных комбинациях логических значений входящих в них простых высказываний они принимают одинаковое логическое значение.
Например: равносильно а
b/\b равносильно b
Логические законы.
Сложное высказывание х называется логическим законом или тавтологией, если оно истинно при всех комбинациях логических значений входящих в него простых высказываний. Логические законы играют исключительно важную роль при
построении математических теорий: применяя логические законы, из верных утверждений получаем верные (доказываем теоремы).
Основные логические законы
22. Одноместные предикаты: основные понятия.
Рассмотрим внутреннее строение высказываний. В каждом
высказывании можно выделить некоторый предмет и свойство
этого предмета. Например, “6<9”можно рассматривать как высказывание о предмете
“число 6”, которое обладает свойством “быть меньше 9”. Вместо 6 можно подставить другие числа, получая при этом другие высказывания: “5<9”, “3<9” и др.
Записав “х<9” и указав, какие значения может принимать переменная х, мы полностью опишем такие высказывания. Выражение типа “х<9” и “х-это город” называются одноместными предикатами и обозначаются Р(х), Q(х).
Множество значений, которые принимает переменная х, входящая
в предикат Р(х), называется полем этого предиката (обозначать
будем М). При одном и том же свойстве предмета задавая разные множества
значений, которые принимает х, мы получаем разные предикаты. При подстановке в предикат какого-то значения переменной х, мы получаем высказывание, которое будет истинным или ложным в зависимости от того, какое именно значение мы подставили.
Таблицы, в которых указываются значения высказываний,
получаемых из предикатов путём подстановки в них конкретных
значений переменных называются матрицами предиката.
Пример: Р(х) - “х имеет хвост”, М={обезьяна, кабан, человек}.
Построим матрицу предиката.