- •1. Анализ вариации зависимой переменной в регрессии
- •2. Тест Дарбина – Уотсона некоррелированности случайных возмущений в схеме Гаусса – Маркова
- •3. Метод имитационного моделирования. Исследование последствий нарушения условий теоремы Гаусса – Маркова
- •4. Анализ вариации зависимой переменной в регрессии
- •5. Коэффициент детерминации как мера качества спецификации эконометрической модели
- •6. Компьютерное моделирование эконометрических систем
- •8. Процедура точечного прогнозирования по оцененной линейной эконометрической модели парной регрессии значений эндогенной переменной
- •9. Интервальное прогнозирование по оцененной линейной эконометрической модели парной регрессии значений эндогенной переменной
- •10. Множественная линейная регрессионная модель. Оценивание параметров множественной регрессии методом наименьших квадратов
- •11. Определение границ доверительных интервалов точечных оценок множественной регрессионной модели
- •12. Оценивание параметров модели взвешенным методом наименьших квадратов
- •13. Модель Марковица
- •14. Определение границ доверительного интервала прогноза зависимой переменной
- •15. Проверка гипотез относительно коэффициентов парной регрессии
- •16. Автокорреляция случайного возмущения
- •17. Гетероскедастичность случайного возмущения
- •18. Система нормальных уравнений и явный вид ее решения при оценивании методом наименьших квадратов линейной модели множественной регрессии
- •19. Модель парной регрессии. Границы доверительных интервалов
- •20. Гетероскедастичность случайной компоненты. Тесты на наличие гетероскедастичности
- •21. Автокорреляция случайной составляющей. Тесты на наличие автокорреляции
- •22. Спецификация и преобразование к приведенной форме динамических моделей. Лаговые и предопределенные переменные динамической модели
- •23. Уточнение эконометрических моделей путем датирования переменных
- •24. Парная регрессия. Оценивание параметров методом наименьших квадратов
- •25. Тест Голдфелда–Квандта гомоскедастичности случайных возмущений в схеме Гаусса – Маркова
- •26. Дисперсионный анализ в парной регрессии
12. Оценивание параметров модели взвешенным методом наименьших квадратов
Для практики полезно из теоремы Гаусса-Маркова выделить частный случай обобщенного метода наименьших квадратов, разработанный Гауссом в первой половине 19в. В этом частном случае, именуемом в эконометрике взвешенным методом наименьших квадратов (ВМНК), матрица является диагональной, но не скалярной, т.е.
Это означает, что предпосылка справедлива, а предпосылка нет, следовательно
(1)
Введем здесь обозначение: (2)
Определение Согласно предположенной Гауссом терминологии , определенная по правилу (2), называется весом случайной переменной . Понятие веса случайной переменной позволяет придать внятный смысл константе : это дисперсия такой случайной переменной, вес которой равен единице; иногда такую случайную переменную именуют (термин Гаусса) единицей веса.
С учетом (1) матрица в процедуре
оказывается диагональной:
из формулы упрощается:
В свою очередь свойство обобщенных наименьших квадратов, справедливое для оценки Эйткена , трансформируется в свойство взвешенных наименьших квадратов: = Отметим, что матрицу (3) называют матрицей весов, а обратную к ней матрицу Ω – матрицей обратных весов или весовых коэффициентов.
13. Модель Марковица
Модель основана на том, что показатели доходности различных ценных бумаг взаимосвязаны: с ростом доходности одних бумаг наблюдается одновременный рост по другим бумагам, третьи остаются без изменения, а по четвертым доходность, наоборот, снижается. Такая зависимость не является детерминированной, т.е. однозначно определенной, а есть стохастической и называется корреляцией.
Модель Марковица имеет следующие основные допущения:
— в качестве доходности ценной бумаги принимается математическое ожидание доходности;
— в качестве риска ценной бумаги принимается среднее квадратическое отклонение доходности;
— принимается, что данные прошлых периодов, используемые при расчете доходности и риска, в полной мере отражают будущие значения доходности;
— степень и характер взаимосвязи между ценными бумагами выражается коэффициентом линейной корреляции.
По модели Марковица доходность портфеля ценных бумаг — это средневзвешенная доходность бумаг, его составляющих, и она определяется формулой:
где N — количество ценных бумаг в портфеле; — процентная доля данной бумаги в портфеле; — доходность данной бумаги.
Риск портфеля ценных бумаг определяется средним квадратическим отклонением доходности портфеля:
, где, — процентные доли данных бумаг в портфеле;, — риск данных бумаг (среднеквадратическое отклонение); —коэффициент линейной корреляции.
С использованием модели Марковица для расчета характеристик портфеля прямая задача приобретает вид:
Обратная задача представляется аналогичным образом:
При практическом применении модели Марковица для оптимизации фондового портфеля используются следующие формулы:
-
доходность ценной бумаги:
, где Т – количество прошлых наблюдений доходности данной ценной бумаги.
-
риск ценной бумаги (в виде оценки среднего квадратического отклонения):
3) статистическая оценка коэффициента корреляции между показателями доходности двух ценными бумагами:
,
где — доходность ценных бумаг a и b в период t.
Ясно, что для N рассматриваемых ценных бумаг необходимо рассчитать
коэффициентов корреляции.