16. Автокорреляция случайного возмущения

Автокорреляция случайных возмущений означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений. Отсутствие автокорреляции остаточных величин обеспечивает состоятельность и эффективность оценок коэффициентов регрессии.

В классической регрессионной модели выполнение третьего условия Гаусса-Маркова (Соv(ε_t ε_S) = 0,при t ≠ s) гарантирует некоррелированность значений случайных членов в раз­личные моменты наблюдений и это позволяет получить несмещенные МНК-оценки с минимальной дисперсией. Зависимость значений случайных членов в различные моменты времени на­зывается автокорреляцией (сериальной корреляцией).

Формальной причиной автокорреляции в регрессионных моделях является нарушение третьего условия теоремы Гаусса-Маркова, действительной же причиной может быть: неправильная спецификация переменных (пропуск важной объясняющей переменной); наличие неучтенных факторов; использование ошибочной функциональной зависимости, а иногда и характер наблюдений (например, временные ряды).

Для проверки на автокорреляцию используется ряд крите­риев, из которых наиболее широкое применение получил крите­рий Дарбина-Уотсона

Последствия автокорреляции в определенной степени сходны с последствиями гетероскедастичности. Среди них при применении МНК обычно выделяются следующие:

1. Оценки параметров, оставаясь линейными и несмещенными, перестают быть эффективными. Следовательно, они перестают обладать свойствами наилучших линейных несмещенных оценок

2. Дисперсии оценок являются смещенными. Зачастую дисперсии, вычисляемые по стандартным формулам, являются заниженными, что приводит к увеличению t-статистик. Это может привести к признанию статистически значимыми объясняющие переменные, которые в действительности таковыми могут и не являться.

3. Оценка дисперсии регрессии является смещенной оценкой истинного значения , во многих случаях занижая его.

4. В силу вышесказанного выводы по t- и F-статистикам, определяющим значимость коэффициентов регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными. Вследствие этого ухудшаются прогнозные качества модели.

17. Гетероскедастичность случайного возмущения

Вторым условием Гаусса-Маркова для классической регрессионной модели является независимость дисперсии возмущения от номера (момента) наблюдений (гомоскедастичность – одинаковый разброс). Нарушение этого условия принято называть гетероскедастичностью (неодинаковый разброс).

При наличии гетероскедастичности количественные характеристики вектора возмущений равны:

Причины:

• Неоднородность исследуемых объектов (например, при анализе зависимости спроса от дохода потребителя выясняется, что чем больше доход, тем больше индивидуальное значение спроса колеблется относительно ожидаемого значения);

• Характер наблюдений (например, данные временного ряда).

Последствия:

• При наличии гетероскедастичности МНК обеспечивает несмещенные оценки параметров, но оценка дисперсии возмущений – смещенная, т.е.

И это приводит к неадекватным оценкам:

• Автоковариационной матрицы оценок параметров

• Границ доверительных интервалов параметров модели и значений зависимой переменно,

Т.е. последствия такие же, как и от автокорреляции.

Проверка на гетероскедастичность (Тест GQ)

Предпосылки теста:

1)пропорциональность дисперсии случайного возмущения величине некоторого регрессора X_j

2)случайное возмущение распределено нормально и не подвержено автокорреляции

Алгоритм теста:

1. Упорядочить выборочные данные по величине регрессора X_tj, t=1,…,n, относительно которого есть подозрение на гетероскедастичность (или по сумме модулей регрессоров)

2. По первым и последним n’ данным выборки оцениваются две частные регресии и векторы остатков e₁ и e₂ соответственно

k+1< n’≈ n/3, k+1 – число параметров модели.

3. По остаткам частных регрессий вычисляются суммы квадратов остатков:

4. вычисляются статистики, имеющие F-распределение:

GQ =Qост1/Qост2, GQ^-1=Qост2/Qост1

5. по таблице распределения с двумя параметрами v₁ = v₂ = n’- k – 1 – число степеней свободы, для уровня значимости α определяется Fкр

6. гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается, если справедливы оба неравенства GQ ≤ Fkp, GQ^-1≤ Fkp, в противном случае делается вывод о гетероскедастичности случайных возмущений.