2.7. Множитель Лагранжа модели потребительского выбора и его экономическое содержание.

Соотношение (2.18) позволяет утверждать, что предельная полезность денежной ед. потребителей с разным уровнем бюджета различна. Докажем, что с ростом бюджета предельная полезность денег падает, а при его сокращении – растет.

Приведем доказательство этого факта для случая набора из двух благ.

Для удобства обозначим смешанные производные функции в точке символом

Представим систему уравнений (2.30) – (2.32) в матричной форме:

Система (2.33), состоящая из трех уравнений с неизвестными , , по теореме Крамера является определенной и имеет единственное решение в том случае, если определитель матрицы системы (2.33) не равен нулю.

Покажем, что определитель матрицы системы (2.33) отличен от нуля. Вычислим алгебраическую сумму всех правильных произведений матрицы:

В силу соотношения (2.19) и совпадения смешанных частных производных и функции упростим полученное выражение:

Убедимся, что выражение, стоящее в скобках, является вторым дифференциалом функции :

Т. к. точка является точкой локального максимума функции , то в силу критерия Сильвестра значение ее второго дифференциала в этой точке меньше нуля: . Кроме того, отношение в силу предположения о положительности рыночных цен больше нуля.

Таким образом, определитель матрицы системы уравнений (2.33) строго меньше нуля.

Доказанный факт позволяет по формуле Крамера найти значение в точке

Поскольку  точка локального максимума функции то, согласно критерию Сильвестра, алгебраическая сумма правильных произведений должна быть больше нуля.

Следовательно, значение выражения, стоящего в числителе, будет больше нуля, а выражения, стоящего в знаменателе – меньше нуля.

Таким образом, доказано, что в точке оптимума задачи потребительского выбора предельная полезность денег обратно зависит от величины бюджета

2.8. Уравнение Слуцкого; эффект дохода и эффект замены. Графическая интерпретация уравнения Слуцкого.

Полагая вектор цен фиксированным, продифференцируем каждое из уравнений системы (2.15’), (2.12’’) по переменной .

Получим следующую систему уравнений в смешанных производных:

Система уравнений (2.36), (2.37) может быть представлена в матричной форме:

Т.к. решение задачи потребительского выбора в приведенной выше постановке существует и единственно, то определитель матрицы системы (2.38) в точке оптимального потребительского выбора отличен от нуля (матрица является невырожденной).

Решим систему уравнений (2.38) относительно неизвестных

где  предельный спрос на i - ое благо по бюджету;  определитель матрицы системы уравнений (2.38); и  ее миноры.

Теперь сделаем допущение, что изменяется только рыночная цена на - ое благо. Остальные цены, а также бюджет потребителя постоянны.

Продифференцируем каждое из уравнений (2.15’), (2.12’’) по переменной .

В результате получим:

Представим полученную систему уравнений (2.41), (2.42) в матричной форме:

Найдем решение системы уравнений (2.43) относительно неизвестных

Согласно (2.39), последнее соотношение можно записать в следующем виде:

Т.к. , то в результате имеем:

Соотношение (2.46) носит название уравнения Е.Е. Слуцкого⁴.

Заметим, что на основе выражения (2.46) можно получить следующую формулу для определения коэффициента перекрестной эластичности:

Уравнение Слуцкого отражает реакцию рыночного спроса на - ое благо на перекрестное изменение цены на - ое и включает два слагаемых, стоящих в правой части уравнения. Первое слагаемое определяет эффект замены, а второе  эффект дохода.

Общее изменение объема спроса на товар, вызванное изменением цены на этот же или другой товар, называется общим эффектом изменения цены и представляет сумму эффектов замены и дохода.

Эффект замены характеризует влияние изменения цены на вызванное им перераспределение в структуре приобретаемых потребителем благ при условии неизменного бюджета покупок. Снижение цены одного товара побуждает потребителя увеличивать его потребление, сокращая потребление другого товара (или группы товаров). Повышение цены побуждает его к замещению этого товара другими, относительно подешевевшими. Кроме того, в соответствии со значением коэффициента перекрестной эластичности эффект замены отражает величину замены в группах взаимозаменяемых и (или) взаимодополняемых благ.

В свою очередь эффект дохода характеризует изменение спроса на - ое благо в зависимости от изменения потребительского бюджета, вызванного изменением цены на - ое благо. Например, в результате повышения рыночной цены на - ое благо спрос на него сокращается, высвобождая бюджетные средства на приобретение других благ, на что и указывает знак «-» в правой части уравнения Слуцкого.

Элементами так называемой матрицы Слуцкого или матрицы замены (обозначим ее через ) являются эффекты замены для спроса на -ое благо при изменении цены - го блага, т.е. . С учетом уравнения Слуцкого каждый элемент матрицы может быть определен следующим образом:

Матрица Слуцкого обладает следующими свойствами, вытекающими из экономического содержания ее элементов⁵:

1. – симметрична (т.е. ;

2. – отрицательно полуопределена;

3. – вырождена (т.е. , где p – вектор рыночных цен благ).

Рассмотрим подробно, каким образом изменение (например, снижение) цены товара при неизменных ценах прочих товаров и дохода потребителя (рис. 2.10) оказывает влияние на объем спроса потребителя.

Во-первых, снижение цены некоторого товара при постоянстве цен прочих товаров представляет собой снижение его относительной цены: товар дешевеет по отношению к другим товарам. Вследствие этого обстоятельства потребитель стремится заменить подорожавшие относительно данного товары подешевевшим товаром. Таким образом, снижение цены некоторого товара вызовет увеличение объема спроса на него и уменьшение спроса на относительно подорожавшие товары.

Во-вторых, снижение цены товара можно также рассматривать как повышение реального дохода потребителя. В самом деле, если до снижения цены потребитель выбирал некоторый набор товаров , то после снижения цены одного из товаров потребитель имеет возможность приобрести этот набор и, дополнительно, в его распоряжении останется некоторая сумма, которая может быть истрачена на приобретение дополнительных ед. как подешевевшего товара, так и любого другого из множества доступных. Таким образом, снижение цены товара адекватно увеличению потребительского бюджета.

Рис. 2.10. Графическое представление эффектов замены и дохода

для случая набора из двух ценных благ

(случай понижения цены одного из благ).

На рис. 2.10 точка является точкой потребительского оптимума, соответствующего ценам и и бюджету (бюджетная линия имеет точку касания с кривой безразличия ).

Пусть цена первого товара снизилась и составила . В этом случае новая бюджетная линия пройдет через ту же точку на оси ординат, а по оси абсцисс – через точку , лежащую правее точки . Новая бюджетная линия имеет точку касания с кривой безразличия : новый оптимум потребителя. Первоначально потребитель приобретал ед. первого блага, при меньшем значении цены стал приобретать ед. (), общим эффектом снижения цены является увеличение объема спроса на ед. первого товара.

Разложим общий эффект изменения цены на эффекты замены и дохода. Для того, чтобы определить величину эффекта замены, необходимо выявить, как изменится объем спроса на товар вследствие изменения относительной цены товара без предполагаемого изменения потребительского бюджета.

Проведем отрезок параллельно новой бюджетной линии , касающийся кривой безразличия . Этот отрезок отражает новое соотношение цен благ и , а точка касания этого отрезка с кривой безразличия характеризует прежний уровень получаемой полезности (соответствующий точке ). Таким образом, при движении от точки к точке уровень реального дохода потребителя остается неизменным, а изменение спроса на товар   при переходе от точки к точке вызвано исключительно изменением соотношения цен товаров: характеризует увеличение объема спроса на товар , вызванное эффектом замены.

Рассмотрим переход от точки к точке нового оптимума . Обе точки характеризуют одинаковое соотношение цен товаров, а, следовательно, изменение объема спроса на товар вызвано исключительно увеличением располагаемого дохода: рост объема спроса на величину выражает эффект дохода.

Итак, разность характеризует эффект замены, а разность характеризует эффект дохода. Величина отражает общий эффект снижения цены на первое благо.

Отметим также, что общим эффектом снижения цены первого блага является уменьшение объема спроса с на товар второго вида.

Такое же разложение общего эффекта на составляющие может быть выполнено и для случая, когда цена товара растет.

Пусть цена первого товара увеличилась и составила (см. рис. 2.11). В этом случае новая бюджетная линия пройдет через ту же точку на оси ординат, а по оси абсцисс – через точку , лежащую левее точки . Новая бюджетная линия имеет точку касания с кривой безразличия : новый оптимум потребителя. Первоначально потребитель приобретал ед. первого блага, при большем значении цены стал приобретать ед. (), общим эффектом увеличения цены является уменьшение объема спроса на ед. первого товара.

Рис. 2.11. Графическое представление эффектов замены и дохода

для случая набора из двух ценных благ

(случай повышения цены одного из благ).

Разложим общий эффект изменения цены на эффекты замены и дохода. Напомним, что, для того чтобы определить величину эффекта замены, необходимо выявить, как изменится объем спроса на первый товар вследствие изменения относительной цены товара без предполагаемого изменения потребительского бюджета.

Проведем отрезок параллельно новой бюджетной линии , касающийся кривой безразличия . Этот отрезок отражает новое соотношение цен благ и , а точка касания этой линии с кривой безразличия характеризует прежний уровень получаемой полезности (соответствующий точке ). Таким образом, при движении от точки к точке уровень реального дохода потребителя остается неизменным, а изменение спроса на товар  при переходе от точки к точке вызвано исключительно изменением соотношения цен товаров: характеризует уменьшение объема спроса на товар , вызванное эффектом замены.

Рассмотрим переход от точки к точке нового оптимума . Обе точки характеризуют одинаковое соотношение цен товаров, а, следовательно, изменение объема спроса на товар вызвано исключительно уменьшением располагаемого дохода: уменьшение объема спроса на величину выражает эффект дохода.

Итак, разность характеризует эффект замены, а разность характеризует эффект дохода. Величина отражает общий эффект увеличения цены первого блага.

Отметим также, что общим эффектом увеличения цены первого блага является увеличение объема спроса с на товар второго вида.

В этих примерах мы рассматривали случай, когда товар является ценным благом, потребление которого растет с увеличением дохода. Рассмотрим аналогичную ситуацию с малоценным товаром.

На рис. 2.12 точка является точкой потребительского оптимума, соответствующего ценам и и бюджету (бюджетная линия имеет точку касания с кривой безразличия ).

Пусть цена первого товара снизилась и составила . В этом случае новая бюджетная линия пройдет через ту же точку на оси ординат правее бюджетной линии . Новая бюджетная линия имеет точку касания с кривой безразличия : новый оптимум потребителя. Первоначально потребитель приобретал ед. первого блага, при меньшем значении цены стал приобретать ед. (), общим эффектом снижения цены является увеличение объема спроса на ед. первого товара.

Рис. 2.12. Графическое представление эффектов замены и дохода

для случая набора из двух малоценных благ

(случай понижения цены одного из благ).

Разложим общий эффект изменения цены на эффекты замены и дохода. Проведем отрезок параллельно новой бюджетной линии AB₁, касающийся кривой безразличия . Этот отрезок отражает новое соотношение цен благ и , а точка касания этого отрезка с кривой безразличия характеризует прежний уровень получаемой полезности (соответствующий точке ). Таким образом, при движении от точки к точке уровень реального дохода потребителя остается неизменным, а изменение спроса на товар   при переходе от точки к точке вызвано исключительно изменением соотношения цен товаров: характеризует увеличение объема спроса на товар , вызванное эффектом замены.

Рассмотрим переход от точки к точке нового оптимума . Обе точки характеризуют одинаковое соотношение цен товаров, а, следовательно, изменение объема спроса на товар вызвано исключительно увеличением располагаемого дохода: снижение объема спроса на малоценное благо на величину выражает эффект дохода.

Итак, разность характеризует эффект замены, а разность характеризует эффект дохода. Величина отражает общий эффект снижения цены на первое благо.

Аналогичную ситуацию с увеличением цены малоценного товара предлагается рассмотреть самостоятельно.

В заключении заметим, что уравнение Слуцкого, являясь следствием модели потребительского выбора (2.11), (2.12’), (2.13), носит локальный характер: справедливо в некоторой окрестности точки решения задачи потребительского выбора.