2. Точечное и интервальное прогнозирование

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое (у_p) значение как точечный прогноз при х_p=х_k, т. е. путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего значения х. Однако точечный прогноз явно не реален. Поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки , т. е. и соответственно интервальной оценкой прогнозного значения (у*)

- <у*< + (1.1)

Чтобы понять, как строится формула для определения величин стандартной ошибки , обратимся к уравнению линейной регрессии:

(1.2)

Подставим в это уравнение выражение параметра b₁:

b₁₌ -b₀

тогда уравнение регрессии примет вид:

= -b₀ +b₀ x= +b₀(x- ) (1.3)

Отсюда вытекает, что стандартная ошибка зависит от ошибки и ошибки коэффициента регрессии b₀, т. е.

² = (1.4)

Из теории выборки известно, что . Используя в качестве оценки σ² остаточную дисперсию на одну степень свободы S², получим формулу расчета ошибки среднего значения переменной у:

(1.5)

Ошибка коэффициента регрессии, как уже было показано, определяется формулой

∑ (1.6)

Считая, что прогнозное значение фактора х_p=х_k, получим следующую формулу расчета стандартной ошибки предсказываемого по линии регрессии значения, т. е.

∑ = (1.7)

Соответственно имеет выражение:

(1.8)

Рассмотренная формула стандартной ошибки предсказываемого среднего значения у при заданном значении х_k характеризует ошибку положения линии регрессии. Величина стандартной ошибки как видно из формулы, достигает минимума при х_к = , и возрастает по мере того, как «удаляется» от в любом направлении. Иными словами, чем больше разность между х_к и х, тем больше ошибка с которой предсказывается среднее значение у для заданного значения х_k. Можно ожидать наилучшие результаты прогноза, если признак- фактор х находится в центре области наблюдений х и нельзя ожидать хороших результатов прогноза при удалении х_к от . Если же значение х_к оказывается за пределами наблюдаемых значений х, используемых при построении линейной регрессии, то результаты прогноза ухудшаются в зависимости от того, насколько х_к отклоняется от области наблюдаемых значений фактора х.

Фактические значения у варьируют около среднего значения Индивидуальные значения у могут отклоняться от на величину случайной ошибки ε , дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы S². Поэтому ошибка предсказываемого индивидуального значения у должна включать не только стандартную ошибку , но и случайную ошибку S.

Рис. 1 Доверительный интервал линии регрессии: а — верхняя доверительная граница; б — линия регрессии; в — доверительный интервал для при х_к; г — нижняя доверительная граница

Средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения у составит:

(1.9)

При прогнозировании на основе уравнения регрессии следует помнить, что величина прогноза зависит не только от стандартной ошибки индивидуального значения у, но и от точности прогноза значения фактора х. Его величина может задаваться на основе анализа других моделей исходя из конкретной ситуации, а также из анализа динамики данного фактора. Рассмотренная формула средней ошибки индивидуального значения признака у( ) может быть использована также для оценки существенности различия предсказываемого значения исходя из регрессионной модели.[6]