1.4 Прогнозирование при наличии авторегрессии ошибок

Остановимся на задаче прогнозирования, когда ошибки в исходной модели у=Хβ+ε, (2.0) коррелированы по времени, а именно, образуют авторегрессионный процесс первого порядка:

ε_t = p ε_t+1 + v_t, t = 1,.. .,n,n+ 1, (2.7)

где {v_t, t = 1,..., n, n + 1} — последовательность независимых нормально распределенных случайных величин с нулевым средним и постоянной дисперсией σ² , |р| < 1. Покажем, как можно использовать информацию об ошибках (2.7) для улучшения прогнозирования. Предположим, как и в начале этого раздела, что все параметры (β, р) известны. Но теперь в качестве оценки ŷ величины У_n+i возьмем не x'_n+1 β, как раньше, а

ŷ = x'_n+1 + p ε_n = x'_n+1 β + р(y_n-x'_n ). (2.8)

Нетрудно проверить, что

е = у_n+1 - ŷ =v_n+1,

Откуда сразу следует, что Ее=0 и

Ее²= σ²_v=(1-p²) σ²_ε (2.9)

Таким образом, удается уменьшить ошибку прогноза по сравнению со случаем некоррелированных ошибок.[3]

Реально параметры регрессии неизвестны, поэтому при прогнозировании величины y_n+1 в формуле (2.8) значения β и р заменяют их оценками:

Ŷ= x'_n+1 β + r(y_n- x'_nβ) (3.0)

Мы не можем дать аналитическое выражение для среднеквадратичной ошибки прогноза. На практике используют формулу (2.9) с заменой величины σ²_v на ее оценку, получаемую из регрессии , , при t=1.

Глава2. Пример построения прогноза по эконометрической модели

2.1. Точечное и интервальное прогнозирование, основанное на модели линейной регрессии

Проведем регрессионный анализ зависимости объема потребления (руб.) домохозяйства от располагаемого дохода (руб), отобрана выборка n=12 (помесячно в течение года)..

Данные и расчеты представлены в таблице 1.

Табл.1 Исходные данные и расчеты.

месяц
1	10700	10200	114490000	109140000	104040000	10320,38	-120,38	14490,43
2	10900	10500	118810000	114450000	110250000	10511,75	-11,75	138,07
3	11000	10800	121000000	118800000	116640000	10607,44	192,56	37080,27
4	11300	11000	127690000	124300000	121000000	10894,50	105,50	11130,44
5	12000	11500	144000000	138000000	132250000	11564,31	-64,31	4135,66
6	12200	11700	148840000	142740000	136890000	11755,68	-55,68	3100,64
7	12300	11900	151290000	146370000	141610000	11851,37	48,63	2364,82
8	12800	12500	163840000	160000000	156250000	12329,81	170,19	28965,89
9	13600	13200	184960000	179520000	174240000	13095,30	104,70	10961,35
10	14000	13000	196000000	182000000	169000000	13478,05	-478,05	228533,84
11	14500	14100	210250000	204450000	198810000	13956,49	143,51	20595,73
12	15000	14400	225000000	216000000	207360000	14434,92	-34,92	1219,66
сумма	150300	144800	1906170000	1835770000	1768340000	143899,64	0,00	362716,80
ср.знач.	12525	12066,67	158847500	152980833,33	147361667

Согласно

Таким образом, уравнение парной регрессии имеет вид: . Можно сделать вывод, что объем потребления в среднем увеличивается на 81.8511 руб.

Рис.3 Линейная регрессионная модель

Для оценки дисперсии рассчитаем , а ряд фактических ошибок также , которые представлены в таблице.

Стандартная ошибка оценивания S=191, те в среднем наблюдаемые значения отличаются от расчетных на 191 руб.

Найдем стандартные ошибки оценок параметров

; .

;

Рассчитаем коэффициент детерминации :

Получаем, что оцененное уравнение на 99% объясняет поведение зависимой переменной- объема потребления домохозяйства.

Проверим статистическую значимость коэффициентов регрессии и :

и .

Критическое значение при уровне значимости равно . Так как , то гипотеза о статистической значимости коэффициента отклоняется.

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии по формуле где s(

, которые с надежность 95% будут следующими:

для

_для

_{Проверка гипотезы о статистической незначимости осуществляется с помощью критической статистики}

_{Fнабл.=(n-2)*(R2/(1-R2)= 485717>Fα=(p,p-n-1)=4,96}

_{То есть гипотеза отвеграется с вероятностью ошибки α.}

Произведем точечный прогноз по формуле:

Таб.2 Точечный прогноз

точечный прогноз
месяц		прогноз
(1)13	15500	14913,36
(2)14	16000	15391,80
(3)15	16350	15726,70

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных объемов потребления

,

где

Табл.3 Интервальный прогноз.

интервальный прогноз
месяц		точ.прогноз	нижняя граница доверит.инт-ла	верхняя граница доверит.инт-ала
(1)13	15500	14913,36	14443,73	15382,99
(2)14	16000	15391,80	15391,80	15391,80
(3)15	16350	15726,70	15726,70	15726,70

Таким образом с доверительной вероятностью 0,999 (или 99,9%) можно утверждать, что сохранении сложившихся закономерностей развития прогнозируемая величина попадет в интервал, образованный нижней и верхней границами.

Заключение

Прогнозирование позволяет заглянуть в будущее и увидеть наиболее вероятные изменения в исследуемой области.

Анализ методов прогнозирования, изучение этих методов, использование их в разных сферах деятельности является мероприятием рационализаторского характера. Степень достоверности прогнозов можно затем сравнить с действительно реальными показателями, и, сделав выводы, приступить к следующему прогнозу уже с существующими данными, т.е. имеющейся тенденцией. Опираясь на полученные данные, можно во временном аспекте переходить на более высокую ступень развития и совершенствовать деятельность определенной сферы.

Изучив результаты работы можно признать цель работы в основном достигнутой. В нынешней ситуации, когда объем потребления и располагаемый доход является неотъемлемыми в нашей повседневной жизни, без контроля и планирования этой сферы нормальное функционирование национальной экономики практически невозможно. Поэтому нельзя не признать актуальность решаемых в курсовой работе задач.

По результатам проведенного исследования, решены следующие задачи:

1. Определены понятие «прогнозирование» и исследованы его особенности, позволяющие более глубже понять интересующую нас тему.

2. Рассмотрены точечное и интервальное, условное и безусловное прогнозирование.

3. Проанализировано прогнозирование при наличии авторегрессии ошибок.

4. Проведено точечное и интервальное прогнозирование, основанное на модели линейной регрессии.

Библиографический список

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2003. – 479 с.

2. Дорошенко О.В. Введение в эконометрику: практикум.-Краснодар: Кубан.гос.ун-т,2007

3. Мангуст Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А., Эконометрика. Начальный курс.-М.:Дело,2005

4. Нанивская В.Г., Андронова И.В. Теория экономического прогнози­рования: Учебное пособие. - Тюмень: ТюмГНГУ, 2000. — 98 с.

5. Садовникова Н.А. , Шмойлова Р.А., Анализ временных рядов и прогнозирование Выпуск 2 Учебное пособие Руководство по изучению дисциплины, Москва 2004]

6.Эконометрика/ под ред. И.И. Елисеевой.-М.:Финансы и статистика,2004

20 | Страница