- •Введение
- •1. Цифровые и дискретные сигналы
- •1.1. Дискретизация сигналов и теорема отсчетов
- •1.2. Представление дискретных сигналов с помощью функциональных рядов
- •1.3. Цифровые сигналы
- •2. Статистические алгоритмы обнаружения, измерения и оценивания параметров сигналов
- •2.1. Обработка сигналов в задачах обнаружения
- •2.2. Пространственно-временная обработка сигналов.
- •2.3. Дискретные алгоритмы частотно-фазовых измерений
- •3. Преобразования цифровых сигналов
- •3.1. Дискретное преобразование Фурье
- •3.1.1. Дискретные экспоненциальные функции
- •3.1.2. Свойства дпф
- •3.1.3. Разновидности дпф
- •3.2. Алгоритмы вычисления дискретного преобразования Фурье
- •3.2.1. Бпф по смешанному основанию
- •3.2.2. Алгоритм Гуд-Томаса
- •3.2.3. Алгоритмы бпф по основанию два
- •3.2.4. Бпф для n-простое число
- •3.2.5. Дпф на основе алгоритма лчм-z фильтрации
- •3.3. Дискретные ортогональные преобразования на конечных абелевых группах
- •3.4. Преобразования Уолша - Адамара
- •3.4.1. Функции Уолша - Адамара
- •3.4.2. Преобразование Уолша-Адамара
- •3.5. Теоретико числовые преобразования (тчп)
- •4. Свертка сигналов
- •4.1. Линейная и циклическая свертки
- •4.2. Алгоритмы свертки квазибесконечной последовательности
- •Контрольные вопросы и задачи
- •5. Цифровая фильтрация
- •5.1. Нерекурсивное винеровское оценивание
- •5.2. Обобщенная винеровская фильтрация
- •6.1. Спектральный анализ стационарных гармонических сигналов
- •6.2. Статистические методы спектрального анализа
- •6.3. Методы анализа, основанные на моделях исследуемых процессов
- •Дискретное преобразование Карунена – Лоэва Оптимальное преобразование
- •Дискретное разложение Карунена – Лоэва периодической случайной последовательности.
- •Содержание
3.4. Преобразования Уолша - Адамара
Преобразованию Фурье в базисе гармонических функций присущ определенный недостаток. Даже при наличии алгоритмов БПФ сохраняется необходимость в выполнении большого количества умножений. Значительное упрощение можно достичь, если в качестве базисных функций использовать кусочно-постоянные, меандровые функции. Одними из таких функций являются функции Уолша - Адамара.
3.4.1. Функции Уолша - Адамара
Исторически сложилось так, что в основе функций Уолша - Адамара лежат ортогональные бинарные матрицы Адамара HN, которые определяются по простому правилу:
,
, и т.д.
Матрицы Адамара можно получить другим путем, используя для этого операцию кронекеровского произведения матриц:
; ,
где - оператор кронекеровского произведения матриц.
Рассматривая элемента матриц Адамара как отсчеты непрерывных меандровых сигналов, можно получить в функции Уолша - Адамара .
Матрица дискретных функций Уолша - Адамара , t = nt примет вид
=
Введем двоичное представление номера функции
и двоичное представление номера отсчета
.
Тогда функции Уолша - Адамара можно определить как
где - скалярное произведение векторов кодов номеров функции и отсчета, соответственно.
Например, пусть , , тогда и элемент матрица с координатами (3,2) равен had(2,3)= .
В зависимости от упорядочивания номера функций различают следующие системы ортогональных функций: система Адамара , система Пэли , система Уолша . Система функций Пэли имеет двоичную инверсию кода номера функции k. Номера функций Уолша изменяются по закону двоичной инверсии кода Грея. Например, для N = 8 имеем
Свойства функций Уолша-Адамара.
Ортогональность
Например, функции
и
ортогональны. Действительно
Функции Адамара-Уолша это равновесные функции с равным числом 1 и-1.
Симметричность
, ,
Мультипликативность
- по номеру функций:
;
-по номеру отсчета:
.
Любая функция Уолша может быть получена путем произведения меандровых функций Радемахера rad(k,n), которые являются базисные функциями для системы Уолша-Адамара. Так, для N=8, n=0,1,…,N-1, имеем следующие функции Радемахера:
rad(0,n)= 1 1 1 1 1 1 1 1; rad(1,n)=1 1 1 1-1-1-1-1; rad(2,n)=1 1 –1-1 1 1-1-1 и rad(3,n)=1-1 1-1 1-1 1-1.
Соответственно
Had(1,n)=rad(3,n); had(3,n)=rad(3,n)rad(2,n) и т.д.
Связь матриц Адамара с конечными полями Галуа GF(q). Усеченная матрица Адамара изоморфна с точностью до перестановки матрице циклических сдвигов псевдослучайной последовательности.
Определим усеченную матрицу Адамара ,размером (N-1)(N-1) полученную из исходной матрицы путем усечения на первый столбец:
.
Определим псевдослучайную линейную рекуррентную последовательность {s[n]; n = 0, 1,…, N - 2}, полученную из элементов конечного поля Галуа GF(qm) { по правилу
,
где след элемента в поле , -примитивный элемент поля .
Например, для поля , построенному по полиному ,
получаем следующую последовательность:
.
Матрица циклических сдвигов последовательности имеет вид
,
знак «точка» - соответствует начальной фазе (задержки) сигнала.
Определим перестановку символов псевдослучайной последовательности как
.
Для рассматриваемого примера перестановка имеет вид
.
Применение такой перестановки к строкам матрицы-циркулянт псевдослучайной последовательности, отображает последнюю в усеченную матрицу Адамара. Для рассматриваемого примера имеем
.
Нетрудно заметить, что если к полученной матрице добавить единичные верхнюю строку и левый столбец, то получим полную матрицу Адамара с переставленными строками. Если мы имеем дело с многоуровневыми сигналами (кодами), тогда подобная перестановка справедлива для функций Виленкина-Крестенсона.