6.1. Спектральный анализ стационарных гармонических сигналов

Предполагается, что спектр аналогового сигнала x(t) сосредоточен в ограни­ченной полосе частот и, следовательно, его параметры могут быть оценены с помощью спектральных характеристик дискретного эквивалента x[n], который формируется после предварительной аналоговой фильтрации на выходе АЦП. Эффекты наложе­ния и шумы цифрового преобразования не учитываются. Параметры гармонического сигнала, такие как, амплитуда, фаза и частота не изменяются во времени.

Для таких сигналов спектральный анализ может быть выполнен с помощью дискретного во времени преобразования Фурье (ДВПФ):

.

На практике для анализа используется последовательность , которая определяется как произведение дискретного сигнала x[n] на весовую функцию w[n] на конечном интервале N. В качестве оценки спектра берется спектр взвешенной последовательности , , который вычисляется с помощью R-точечного ДПФ (БПФ), (R  N) (рис. 14).

Переход к дискретным частотам осуществляется в точках

.

Дискретные частоты связаны с номером отсчета ДПФ соотношением

. (100)

При этом номер k коэффициента ДПФ связан с частотой сигнала f_c и частотой дискретизации соотношением

. (101)

Выход канала ДПФ G(k) совпадает с выходом нерекурсивного фильтра с импульсной характеристикой, отвечающей условию

или .

Такой фильтр имеет частотную характеристику

,

являющуюся комплексно-сопряженной частотной характеристикой весовой функции , смещенной вправо (или влево) к частоте _k.

Для анализатора с прямоугольной весовой функцией

.

Частотная характеристика имеет главный лепесток шириной с относительным уровнем максимального бокового лепестка _бл= –13,6 дБ.

Однозначное разрешение комплексного гармонического сигнала имеет место только на частотах, совпадающих с частотами анализа ДПФ, когда в интервале анализа укладывается целое число периодов сигнала. В этом случае сигнал присутствует только на выходе одного канала (или иначе) проецируется на один бин ДПФ.

На сигналы с частотой, не равной _k , откликаются два соседних канала на уровне главных лепестков их частотных характеристик, а на уровне боковых лепестков откликаются все каналы ДПФ. Это явление называют размыванием спектра или эффектом просачивания.

Пример. Предположим, что анализируется сигнал , . Представим его в виде

.

Дискретное во времени преобразование Фурье дает

.

Пусть частота сигнала f_c = 10 Гц, размер ДПФ R =32, частота дискретизации f_ = =64 Гц. Тогда k = 1032/64 = 5. Спектр ДПФ будет содержать два отличных от нуля коэффициента X(5) и X(32-5=27).

Если частота сигнала f_c = 11 Гц, при таких же условиях получаем

.

Отсчет дискретного во времени преобразования Фурье для частоты f_c = 11 Гц будет располагаться между коэффициентами спектра ДПФ с номерами k=5 и k=6. Происходит размытие спектра сигнала на выходе спектроанализатора. При введении прямоугольного окна и

.

ДВПФ определяется в виде частотного сдвига на частотной характеристики весового окна с учетом масштабирующего множителя 0,5. В частотном диапазоне это проявляется в виде двух пиков на частотах 0,344 и 2(1-11/64)=1,656/

Влияние весовой функции. Высокий уровень боковых лепестков и обусловленное им сильное влияние каналов анализатора спектра является основным недостатком прямоугольной весовой функции. Эти недостатки преодолеваются с помощью специальных весовых функций, имеющих меньший уровень боковых лепестков. Наиболее известны весовые функции:

• Хэмминга , _бл= -43 дБ, =8/N;

• Блакмана , _бл= -58 дБ и др.

Однако при этом возрастает ширина главного лепестка, что приводит к ухудшению разрешающей способности. Улучшение разрешения анализатора спектра с весовыми функциями обеспечивается путем увеличения числа точек ДПФ, т. е. увеличением времени анализа сигнала.