- •§ 3. Основные свойства определителей 3-го порядка.
- •Тогда, используя свойство 5, а затем 4, будем иметь
- •Свойства обратной матрицы
- •Матричный метод решения систем линейных уравнений
- •Алгоритм
- •[Править] Пример
- •Компланарные векторы
- •Бесконечно малая величина
- •[Править] Бесконечно большая величина
- •Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах
- •Бесконечно малые функции
- •Свойства бесконечно малых функций
- •Бесконечно большие функции
- •Свойства бесконечно больших функций в точке
- •Пределы функции на бесконечности
- •Определения Править
- •Окрестностное определение Править
- •Определения Править
- •Определения
- •[Править] Односторонний предел по Гейне
- •[Править] Односторонний предел по Коши
- •[Править] Односторонний предел как предел вдоль фильтра
- •[Править] Обозначения
- •Построение асимптот при анализе функций
- •Примеры:
- •Точки разрыва
- •Непрерывность функции в точке
- •Свойства непрерывных функций
- •Свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции
- •Теоремы о непрерывных функциях
- •Непрерывность обратной функции
- •Непрерывность функций
- •[Править] Доказательство
- •Формулировка
- •[Править] Доказательство для r
- •[Править] Замечания
- •Второй замечательный предел
- •Натуральные логарифмы
- •Свойства Править
- •Дифференцирование сложной функции
- •[Править] Примеры
- •[Править] Свойства
- •[Править] Разложение в степенной ряд
- •Теорема об обратной функции.
- •Теорема (о дифференцировании обратной функции)
- •Примеры
- •Дифференцирование функций заданных параметрически
- •36. Логарифмическое дифференцирование.
- •Правила отыскания производных показательных и логарифмических функций.
- •Производные обратных тригонометрических функций
- •Теорема Ролля
- •Геометрический смысл теоремы Ролля
- •Теорема Лагранжа
- •Геометрический смысл теоремы Лагранжа
- •Теорема Коши
Непрерывность обратной функции
Пусть -- функция, непрерывная на отрезке . Предположим, что монотонна на ; пусть, для определённости, она монотонно возрастает: из следует, что . Тогда образом отрезка будет отрезок , где и (действительно, непрерывная функция принимает любое промежуточное между и значение, причём ровно один раз, что следует из монотонности). Поэтому существует обратная к функция функция, действующая из в . Очевидно, что монотонно возрастает. (Если бы функция была монотонно убывающей, то и обратная к ней функция тоже была бы монотонно убывающей.)
Теорема 3.11 Пусть -- непрерывная монотонная функция, , . Тогда обратная к функция непрерывна на отрезке .
Доказательство. Во-первых, заметим, что если , , то .
Во-вторых, пусть ; рассмотрим функцию , которая определена при . Очевидно, что -- непрерывная на функция, поэтому она принимает наименьшее значение в некоторой точке :
Таким образом, если , то , то есть если , то . Последнее утверждение можно переформулировать так: для любого числа найдётся число , такое что при выполняется неравенство . (При этом , , , .) Получили, что функция удовлетворяет определению равномерной непрерывности на отрезке ; тем самым доказано утверждение теоремы.
69
Непрерывность функций
Функция f (x), определенная в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в этой точке, если
|
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки a, быть может, за исключением самой точки a. Точка a называется точкой разрыва, если эта функция либо не определена в точке a, либо определена, но не является непрерывной в точке a.
Чаще всего разрыв возникает по двум причинам:
функция задана различными выражениями на разных участках, и в граничных точках эти выражения имеют различные пределы;
функция не определена в данной точке.