Пределы функции на бесконечности

Править

• История

Предел функции на бесконечности в математическом анализе описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим по модулю.

Определения Править

• Пусть задана числовая функция с неограниченной сверху областью определения, то есть и Число называется пределом функции f при x стремящемся к бесконечности, если

Пишут:

• Аналогично пусть и Число называется пределом функции f при x стремящемся к минус бесконечности, если

Пишут:

Окрестностное определение Править

Расширенная числовая прямая становится топологическим пространством, если её снабдить естественной топологией, определив окрестности ьдьщых точек следующим образом:

• Окрестностью точки является любой интервал

• Окрестностью точки является любой интервал

Пределы функции на бесконечности тогда можно определить как обычные пределы на топологическом пространстве.

• Число A называется пределом функции f при x стремящемся к бесконечности, если для любой окрестности V(A) существует окрестность такая, что

• Число A называется пределом функции f при x стремящемся к минус бесконечности, если для любой окрестности V(A) существует окрестность такая, что

Преде́л фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел A в точке x₀ если для всех значений x, достаточно близких к x₀, значение f(x) близко к A.

Содержание

[показать]

• 1 Определения

• 2 Замечания

• 3 Предел вдоль фильтра

  • 3.1 Определение фильтра

  • 3.2 Определение предела

  • 3.3 Примеры

    • 3.3.1 Обычный предел

    • 3.3.2 Односторонние пределы

    • 3.3.3 Пределы на бесконечности

    • 3.3.4 Предел последовательности

    • 3.3.5 Интеграл Римана

• 4 Свойства пределов числовых функций

• 5 См. также

Определения Править

• (определение по Коши, ε−—определение) Пусть дана функция и — предельная точка множества M. Число называется пределом функции f при x, стремящемся к a , если

• (окрестностное определение) Пусть дана функция и — предельная точка множества M. Число называется пределом функции f при x, стремящемся к a , если для любой окрестности V(A) точки A существует проколотая окрестность точки a такая, что

• (определение по Гейне) Пусть дана функция и — предельная точка множества M. Будем называть последовательностью Гейне, если и при Число называется пределом функции f при x, стремящемся к a тогда и только тогда, когда для любой последовательности Гейне имеем

при

66

Определения

Пусть на некотором числовом множестве задана числовая функция и число — предельная точка области определения . Существуют различные определения для односторонних пределов функции в точке , но все они эквивалентны.