[Править] Односторонний предел по Гейне

• Число называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, больших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .

• Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, меньших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .^[1]

[Править] Односторонний предел по Коши

• Число называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякого положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек из интервала справедливо неравенство .

• Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякого положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек из интервала справедливо неравенство .^[1]

[Править] Односторонний предел как предел вдоль фильтра

Односторонний предел является частным случаем общего понятия предела функции вдоль фильтра. Пусть и Тогда системы множеств

и

являются фильтрами. Пределы вдоль этих фильтров совпадают с соответствующими односторонними пределами:

[Править] Обозначения

• Правосторонний предел принято обозначать любым из нижеследующих способов:

• Аналогичным образом для левосторонних пределов приняты обозначения:

• При этом используются также сокращённые обозначения:

  • и для правого предела;

  • и для левого предела.

• Асимптота (от греч. ασυμπτωτοζ - несовпадающий, не касающийся) кривой с бесконечной ветвью - прямая, к которой эта ветвь неограниченно приближается. Например, у гиперболы у = 1/x (рис. 1) асимптотами являются оси координат Ox и Oy.

  Рис. 1.		Рис. 2.

• Кривая может пересекать свою асимптоту (например, график затухающих колебаний, рис. 2). Кривые с бесконечными ветвями могут не иметь асимптот (так, например, её нет у параболы). Если график функции y = f(x) имеет асимптоту, определяемую уравнением y = ax + b, то эта функция может быть представлена в виде f(x) = ax + b•α(x), где α(x) → 0 при x → ∞.

Построение асимптот при анализе функций

Понятие А. широко используется при анализе функций. Различают горизонтальные, вертикальные и наклонные А.

Кривая y = f(x) имеет горизонтальную А., если существует конечный предел функции f(x) при x → ∞ (x → -∞) и этот предел равен b, т.е.

Кривая y = f(x) имеет вертикальную А. x = a, если при x → a, x → a - 0, x → a, x → a + 0 f(x) → ∞ (f(x) → -∞). Для отыскания вертикальных А. надо найти те значения аргумента, вблизи которых f(x) неограниченно возрастает по абсолютной величине. Если такими значениями аргумента окажутся a₁, a₂, ..., a_n, то уравнения вертикальных А. будут иметь вид x = a₁, x = a₂, ..., x = a_n.

Кривая y = f(x) имеет наклонную А. y = kx + b в том и только в том случае, если существуют конечные пределы (надо отдельно рассматривать случаи x → +∞ и x → -∞). Наклонная А. - правая, если график приближается к ней при x → +∞, левая, если график приближается к ней при x → -∞ или двусторонняя, если график приближается к ней как при x → +∞, так и при x → -∞. Напомним, что А. кривой y = f(x) может пересекаться с этой кривой как в конечном, так и в бесконечном множестве точек (см. рис. 2).