Бесконечно малая величина
Последовательность
an
называется бесконечно
малой, если
.
Например, последовательность чисел
—
бесконечно малая.
Функция
называется бесконечно
малой в окрестности точки
x0,
если
.
Функция
называется бесконечно малой на
бесконечности, если
либо
.
Также
бесконечно малой является функция,
представляющая собой разность функции
и её предела, то есть если
,
то f(x)
− a
= α(x),
.
[Править] Бесконечно большая величина
Во
всех приведённых ниже формулах
бесконечность справа от равенства
подразумевается определённого знака
(либо «плюс», либо «минус»). То есть,
например, функция xsin x,
неограниченная с обеих сторон, не
является бесконечно большой при
.
Последовательность
an
называется бесконечно
большой, если
.
Функция
называется бесконечно
большой в окрестности точки
x0,
если
.
Функция
называется бесконечно большой на
бесконечности, если
либо
.
62
Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах
Постоянное число а называется пределом последовательности {x n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству
x n - a < . (6.1)
Записывают
это следующим образом:
или
x n a.
Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству
a- < x n < a + , (6.2)
которое означает, что точки x n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a- , a+ ), т.е. попадают в какую угодно малую -окрестность точки а.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.
Понятие предела функции является обобщением понятия предела последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента n.
Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.
Определение 1. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности {f(x n )} имеют один и тот же предел А.
Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “ на языке последовательностей ”.
Определение 2 . Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число , можно найти такое >0 (зависящее от ), что для всех x, лежащих в -окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству 0 < x-a < , значения функции f(x) будут лежать в -окрестности числа А, т.е. f(x)-A < .
Это определение называют определением предела функции по Коши, или “на языке - “.
Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x a имеет предел, равный А, это записывается в виде
.
(6.3)
В том случае, если последовательность {f(x n )} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:
Переменная величина (т.е. последовательность или функция), имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной.
Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется бесконечно большой величиной.
Для нахождения пределов на практике пользуются следующими теоремами.
Теорема
1 . Если существуют пределы
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Замечание . Выражения вида 0/0, / , 0 , - являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и нахождение пределов такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.
Теорема
2.
(6.7)
т.е. можно переходить
к пределу в основании степени при
постоянном показателе, в частности,
;
(6.8)
(6.9)
Теорема
3.
(6.10)
(6.11)
где e 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первого и второго замечательного пределов.
Используются на практике и следствия формулы (6.11):
(6.12)
(6.13)
(6.14)
в частности,
Eсли
x a и при этом x >
a, то пишут x a + 0.
Если, в частности, a = 0, то вместо символа
0+0 пишут +0. Аналогично если x a
и при этом x<a, то пишут x a-0.
Числа
и
называются соответственно пределом
справа и пределом слева функции
f(x) в точке а. Для существования
предела функции f(x) при x a
необходимо и достаточно, чтобы
.
Функция f(x) называется непрерывной
в точке x 0, если
.
(6.15)
Условие (6.15) можно переписать в виде:
,
то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.
Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R, кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x o )= f(0) не определено, поэтому в точке x o = 0 функция имеет разрыв.
Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o, если
,
и непрерывной слева в точке x o, если
.
Непрерывность функции в точке x o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.
Для
того, чтобы функция была непрерывна в
точке x o, например, справа,
необходимо, во-первых, чтобы существовал
конечный предел
,
а во-вторых, чтобы этот предел был равен
f(x o ). Следовательно, если хотя бы
одно из этих двух условий не выполняется,
то функция будет иметь разрыв.
1. Если существует и не равен f(x o ), то говорят, что функция f(x) в точке x o имеет разрыв первого рода, или скачок.
2. Если равен или не существует, то говорят, что в точке x o функция имеет разрыв второго рода.
Например, функция y = ctg x при x +0 имеет предел, равный + , значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x ) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.
Функция, непрерывная в каждой точке промежутка [a,b], называется непрерывной в [a,b]. Непрерывная функция изображается сплошной кривой.
63