Тема 1: Числовые множества и последовательности.

1)Определения:

1.1 Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным множеством

1.2 множество называется ограниченным сверху, если существует число b, такое что все элементы X не превосходят b

1.3 множество называется ограниченным снизу если существует число b, такое что все элементы X не меньше b

1.4 не являющееся ограниченным, называется неограниченным. Как следует из определения, множество не ограничено тогда и только тогда, когда оно не ограничено сверху или не ограничено снизу.

1.5. 1.6 Множество вещественных чисел X называется неограниченным сверху

(снизу), если для любого вещественного числа M (m) найдется элемент x множества X ,

удовлетворяющий неравенству x > M ( x < m).

1.7 любой промежуток включающий эту точку

1.8 это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества менее, чем на ε

1.9 проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

1.10 предельной точкой числового множества, имеющего бесконечное число элементов, называется точка числовой прямой, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этого множества

1.11 Если A — ограничено сверху, то наименьшая из его верхних границ называется верхней гранью

1.12 Если A — ограничено снизу, то наибольшая из его нижних границ называется нижней гранью

1.13 Наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху множества X

называется точной верхней гранью

1.14 Наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества X называется точной нижней гранью

1.15 Если каждому числу n натурального ряда чисел (1, 2, ..., n) ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число Xn, то множество вещественных чисел X1, X2, X3, ..., Xn мы назовем числовой последовательностью

1.16 1.17 ограниченная последовательность {Xn} называется ограниченной сверху(снизу), если существует такое число М(m), что для любого натурального числа n Xn ≤ M (Xn ≥ m)

1.18 Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают

1.19 пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера.

1.20 последовательность Xn называется бесконечно большой последовательность, если для любого положительного числа А существует такой N, начиная с которого выполняется неравенство l Xn l > a

1.21 последовательность Xn называется бесконечно малой последовательность, если для любого положительного ε > 0, найдется такой номер с которого - ε < Xn < ε

2) Основные теоремы:

2.1  

                                                                            2.2 Теорема о 2-х милиционерах: Если функция y = f(x) такая, что для всех x в некоторой окрестности точки a, причем функции φ(x) и ψ(x) имеют одинаковый предел при , то существует предел функции y = f(x) при , равный этому же значению, то есть

2.3 Любая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.