Алгебраическая структура группа, её свойства.
называется множество G с бинарной операцией, обозначаемой обычно ∙, удовлетворяющей трем условиям:
1)операция ∙ - ассоциативна;
2)существует
единичный элемент е такой, что g
•
е
= е
• g
= g
для
любого g
G;
3)все элементы множества G обратимы, то есть для любого g G найдется такой элемент g -1 G, что g ∙ g -1 = g -1 ∙ g = е.
Итак, группа - это моноид, в котором каждый элемент обратим. Заметим, что группа G называется абелевой, если операция ∙ коммутативна.
В группе G можно решить любое уравнение вида а∙х = b или х∙а = b (a,b G). Решением первого уравнения будет х = а -1∙b, а второго - х = b ∙ а -1. Если операция в группе - сложение, то рассмотренные выше уравнения имеют вид: а + х = b или х + а = b; соответственно решениями будут х = (-а) + b или х=b+(-а), где (-а) - противоположный (обратный) элемент к элементу а.
А ) Определение. Множество А , вместе с одной или несколькими алгебраическими операциями, определенными на этом множестве называют алгебраической структурой.
Б ) М ножество X задана бинарная алгебраическая операция *, если всякой упорядочной паре чисел ( a , b ) однозначно сопоставлен некоторые элементы a * b .
В ) О перация называется ассоциативной, если выполняется равенство ( a * b )* c = a *( b * c ) и коммутативной a * b = b * a .
Г )Э лемент e называется единичным если имеет по отношению операции *,если выполняется равенство e * a = a * e = a
Д )Э лемент a -1( степень ) называется обратным к элементу a , по отношению к операции звездочка, если выполняется равенство
a -1* a = a -1* a = e . Е )множество называется замкнутым относительно оперции *, если ее применение не выводит за пределы множества Ж)алгебраическая структура (а ; *) называется группой если : - * ассоциативна – д / б единичным элементом ( e ) - д / каждого существует обратный
если * будет коммутативна то группа будет называться абелевой
Алгебраическая структура кольцо, её свойства.
Определение. Пусть А – непустое множество, на котором определены две внутренние бинарные алгебраические операции, которые мы будем называть сложением и умножением и записывать соответственно. Алгебраическая структура называется кольцом, если относительно сложения множество А является абелевой группой и выполняется закон ассоциативности умножения и оба закона дистрибутивности умножения относительно сложения . Определение. Если в кольце А существует единичный элемент относительно умножения то кольцо А называется кольцом с единицей. Если операция коммутативна, то кольцо называется комутативным
Алгебраическая структура поле, её свойства.
Полем называется коммутативное кольцо с единицей, в котором любой элемент, отличный от нуля, имеет обратный. Термин "кольцо с единицей" означает, что в кольце существет такой элемент e , что для любого элемента а выполнено ае=а и еа=а . Обратным элементом к элементу а называется такой элемент b , что ab = e
Линейная зависимость векторов.
Выражение вида λ 1* A 1+ λ 2* A 2+...+ λn * An называется линейной комбинацией векторов A 1, A 2,..., An с коэффициентами λ 1, λ 2,..., λn .
Определение линейной зависимости системы векторов
Система векторов A 1, A 2,..., An называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел λ 1, λ 2,..., λn , при котором линейная комбинация векторов λ 1* A 1+ λ 2* A 2+...+ λn * An равна нулевому вектору, то есть система уравнений: A 1 x 1+ A 2 x 2+...+ Anxn = Θ имеет ненулевое решение.
Набор чисел λ 1, λ 2,..., λn является ненулевым, если хотя бы одно из чисел λ 1, λ 2,..., λn отлично от нуля.
5. Базис векторного пространства.
Базисом системы векторов A 1 , A 2 ,..., An называется такая подсистема B 1, B 2 ,..., Br (каждый из векторов B 1, B 2,..., Br является одним из векторов A 1 , A 2 ,..., An ), которая удовлетворяет следующим условиям:
1. B 1 , B 2 ,..., Br линейно независимая система векторов;
2. любой вектор Aj системы A 1 , A 2 ,..., An линейно выражается через векторы B 1, B 2,..., Br
r - число векторов входящих в базис.
Теорема 29.1 О единичном базисе системы векторов.
Если система m -мерных векторов содержит m различных единичных векторов E 1 E 2 ,..., Em , то они образуют базис системы.
Разложение вектора по базису.
Разложить вектор X по базису e 1 , e 2 , e 3 - значит, представить вектор
X в виде : X = α 1 e 1 + α 2 e 2 + α 3 e 3; где e 1 = ( x 1 , y 1, z 1), e 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ),
e3 = ( x3 , y3 , z3 ),
x = ( x , y , z )
Замена базиса векторного пространства.
процедура замены базиса и преобразования координат (т.е. процедура перехода от одного пространства к другому). Транспонированная матрица А* составленная из коэффициентов называется матрицей замены базиса на базис ( ). Сама же матрица А, составленная из коэффициентов является матрицей замены базиса на базис ( ).
Евклидово пространство.
Линейное пространство наз евкл, если в нем определена операция скалярного произведения,т е двум люб векторам х и у, сопоставлено вещественное число, обозначаемое (х.у) и это соотв удовл след усл
( x , y) = (y, x),
( α· x , y) = α·(x, y),
(x + y, z) =(x, z) + (y, z),
( x , x)> 0 при x ≠ 0, (0, 0) = 0,
то в пространстве L определено скалярное произведение ( x , y ).
Если в линейном пространстве определено скалярное произведение, то такое пространство называется евклидовым пространством.
Ортонормированный и ортогональный базисы.
Ортонормированная система, состоящая из n векторов n -мерного евклидова пространства, образует базис этого пространства. Такой базис называется ортонормированным базисом.
Если e 1, e 2, ..., en — ортонормированный базис n -мерного евклидова пространства и x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ... + xnen — разложение вектора x по этому базису, то координаты xi вектора x в ортонормированном базисе вычисляются по формулам xi =( x , ei ), i = 1, 2, ..., n . Базис e1, e2, … , en в n –мерном евклидовом пространстве En называется ортогональным, если ( ei , ej ) = 0 " i ≠ j , т.е. все векторы попарно ортогональны.
Ортогональный базис из единичных векторов называется ортонормированным.
Линейные преобразования и их свойства.
Множество L называется линейным или векторным пространством, если для всех элементов (векторов) этого множества определены операции сложения и умножения на число и справедливо:
1. Каждой паре элементов x и y из L отвечает элемент x + y из L, называемый суммой x и y , причём:
x + y = y + x − сложение коммутативно;
x + ( y + z ) = ( x + y ) + z − сложение ассоциативно;
x + 0 = x − существует единственный нулевой элемент 0 ( x + 0 = x для любого x из L);
x + (− x ) = 0 − для каждого элемента x из L существует единственный противоположный элемент − x ( x + (− x ) = 0 для любого x из L).
2. Каждой паре x и α, где α − число, а x элемент из L, отвечает элемент α·x, наываемый произведением α и x , причём:
α·(β·x) = (α·β)·x − умножнение на число ассоциативно : ;
1· x = x − для любого элемента x из L.
3. Операции сложения и умножения на число связаны соотношениями:
α·(x + y ) = α·x + α·y − умножнение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;
(α + β)·x = α·x + β·x − умножнение на вектор дистрибутивно относительно сложения чисел.