19. Уравнения плоскости

Ax + By + Cz + D = 0

20. Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве.

Пусть уравнения

A1x + B1y + C1z + D1 = 0, A12 + B12 + C12 ≠ 0 и A2x + B2y + C2 z + D2 = 0, A22 + B22 + C22 ≠ 0,

описывают в одной и той же декартовой системе координат две плоскости, нормальные векторы которых соответственно N 1 = ( A 1, B 1, C 1) и N 2 = ( A 2, B 2, C 2). Угол между этими плоскостями — это угол между их нормальными векторами и определяется по формуле

лоскости совпадают, тогда и только тогда, когда существует отличное от нуля число k такое, что одновременно выполнены равенства A 1= kA 2 , B 1= kB 2 , C 1= kC 2 , D 1= kD 2.

Плоскости параллельны, тогда и только тогда, когда существует отличное от нуля число k такое, что одновременно выполнены равенства A 1= kA 2 , B 1= kB 2 , C 1= kC 2 и D 1≠ kD 2 (нормальные векторы плоскостей параллельны).

Плоскости перпендикулярны, тогда и только тогда, когда A 1 A 2 + B 1 B 2+ C 1 C 2 = 0 (нормальные векторы плоскостей перпендикулярны).

21. Уравнение окружности.

Уравнение окружности ω ( A ; R ) имеет вид ( x – a )2 + ( y – b )2 = R 2, где a и b – координаты центра A окружности ω ( A ; R ) .

22. Уравнение эллипса.

y2 /b2+x2/a2=1

23. Уравнение гиперболы.

x2 /a2 - y2/b2 = 1.

24. Уравнение параболы.

1) y 2 = 2р x - парабола симметрична относительно оси О x .

2) x 2 = 2р y - парабола симметрична относительно оси О y

25. Понятие кривой. Кривизна и кручение кривой.

КРИВАЯ (линия), след, оставленный движущейся точкой или телом .

Пусть γ(t) — регулярная кривая в d-мерном евклидовом пространстве, параметризованная длиной. Тогда н азывается вектором кривизны γ в точке p = γ(t0). Для кривой, заданной параметрически в общем случае (параметр не обязательно является длиной), кривизна отображается формулой:

Где и соответственно обозначают первую и вторую производную радиус-вектора γ в требуемой точке.

Для того чтобы кривая γ совпадала с некоторым отрезком прямой или со всей прямой, необходимо и достаточно, чтобы кривизна (или вектор кривизны) тождественно равнялась нулю.

Для кривой, заданной параметрически в общем случае (параметр не обязательно является длиной), кривизна отображается формулой . Скорость вращения соприкасающейся плоскости при равномерном, с единичной скоростью, движении называется кручением . у равнениями (1) кручение кривой определяется по формуле

26. Плоские кривые. Радиус кривизны.

Величина, обратная кривизне кривой ( r = 1 / κ), называется радиусом кривизны; он совпадает с радиусом соприкасающейся окружности в данной точке кривой. Центр этой окружности называется центром кривизны. Все множество плоских кривых можно разделить на циркульные и лекальные.

Циркульной называют кривую, которую можно построить с помощью циркуля. К ним относятся окружность, овал, завиток и т.д. Лекальной называют кривую, которую нельзя построить с помощью циркуля. Ее строят по точкам с помощью специального инструмента, называемого лекалом. К лекальным кривым относятся эллипс, парабола, гипербола, спираль Архимеда и др