11. Матрица линейного преобразования.

Линейными операциями называются операции сложения матриц и умножение матрицы на число.

Суммой двух матриц одинаковой размерности называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соот ветствующих элементов слагаемых . Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента на число

элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых:

12. Характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования.

Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число , что выполняется равенство:A .

При этом число  называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .

13. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

у равнение y = kx + b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k . Любая прямая, не перпендикулярная оси OX , может быть определена этим уравнением. Прямая же, перпендикулярная оси абсцисс, задается уравнением x = x 0.

14. Уравнение прямой в «отрезках».

При А 0, В 0 и С 0 получаем уравнение прямой в отрезках на осях:

x/ a+y /b=1 , где a = – C / A , b = – C / B . Эта прямая проходит через точки ( a , 0 ) и ( 0, b ), т.е. отсекает на осях координат отрезки длиной a и b .

15. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

( х1, у 1 ) и ( х2, у 2 ):

y - y 1/ y 2- y 1= x - x 1/ x 2- x 1. При х 1 не равному х2, y 2 не равно y 2

16. Общее уравнение прямой .

Ах + Ву + С = 0 ,

17. Взаимное расположение прямых на плоскости и в пространстве.

Угол между прямыми с угловыми коэффициентами k 1 и k 2 определяется формулой:

Условие параллельности прямых : k1 = k2. Условие перпендикулярности прямых : k1·k2 = −1.

Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпердикулярна и самой наклонной.

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, расположенной в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна некоторой прямой на этой плоскости.

Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Все точки прямой, параллельной плоскости, одинаково удалены от этой плоскости.

18. Расстояние от точки до прямой.

Пусть в трехмерном пространстве заданы прямая, проходящая через точку M 0( x 0 y 0, z 0), параллельно вектору a = ( l , m , n ), и точка M 1( x 1 y 1, z 1), не лежащая на прямой.

Расстояние h от точки M 1( x 1 y 1, z 1) до прямой может быть вычислено по формуле