24.Модель экономического благосостояния

В основе концепции экономического благосостояния лежит принцип оптимальности по Парето. Изначально этот принцип был разработан для задач многокритериальной оптимизации вида

где X - множество допустимых решений единственного ЛПР (лица, принимающего решение), - заданные на множестве X различные целевые функции, описывающие различные цели, преследуемые этим ЛПР. Таким образом, для каждого выбранного ЛПР решения получается n чисел , оценивающих качество этого решения.

Допустим, что в X существует такая точка , которая максимизирует (или минимизирует) функцию , т.е.

Опр. Точка называется оптимальной по Парето в задаче многокритериальной оптимизации, если не существует другой точки , для которой для всех , причем хотя бы для одного i имеет место строгое неравенство.

Множество всех оптимальных по Парето точек называется множеством Парето.

Смысл оптимальности точки заключается в том, что переход от нее к любой другой точке (в том числе к другой оптимальной по Парето точке) обязательно сопровождается уменьшением значения хотя бы одной из функций .

Пусть - такие неотрицательные числа, что . Для любой точки выпуклая комбинация

называется сверткой критериев в задаче

Теорема 7.9. Пусть в задаче многокритериальной оптимизации (7.4.1) множество X замкнуто и выпукло, а все функции вогнуты. Тогда

1.Если все коэффициенты в (7.4.2) положительны, то вектор , максимизирующий свертку критериев (7.4.2) на множестве X, оптимален по Парето;

2.Обратно, для любой оптимальной по Парето в задаче (7.4.1) точки существуют неотрицательные и не все равные нулю числа , такие, что свертка критериев (7.4.2) достигает максимального значения в точке .

Теорема 7.10. Если - конкурентное равновесие в модели Эрроу-Дебре, то распределение оптимально по Парето.