Прямоугольная (Декартовая) система координат на плоскости – совокупность двух взаимно перпенд. Осей координат, имеющих общее начало. Осбь абсцисс – горизонт.ось, ось ординат – вертикальная. На примере точки М: прямоугольные координаты Х и У точки М – величины ОА и ОВ на графике. Каждой М в плоскости соответствует единств пара чисел Х и У. Декартова система корд. в пространстве: это совокупность трех взаимно перпенд. осей координат имеющих общее начало. Каждой М соответствует единств. тройка чисел Х У Z. На примере М. ОА=х,ОВ=у,ОС=z. Полярная система коорд: задается точкой О-полюсом, лучом Р-полярной осью,и ед.вектором е того же направления что и луч р. R-длина ОМ(полярн радиус), альфа-угол на который нкжно повернуть полярную ось для совмещения с осью корд.(от 0 до 2пи). Формулы,связывающие координаты точки в этих системах. для нахождения декартовых корд: х=p cos фи; y= p sin фи. Для нахождения полярных координат: p= x + y в квадрате и под корнем; tg фи=y/x.
Понятие геометр вектора . Вектор – направленный прямолинейный отрезок,т.е имеет опред длину и направление. Вектор,противоположный ветору а обознач как –а(или АВ противополож ВА). Величины,которые определяются числовыми значениями – скалярные. Основные определения связанные с этим понятием:
Длина- или модуль АВ это длина отрезка и обозначается как |AB|. Вектор длина которого равна 1 – единичный вектор. Обознач как е.
Равенство-а и b равны,если они коллинеарны,сонаправлены и имеют одинаковые длины.(равные по другому свободные векторы)
Нуль-ветор- нулевой вектор,ветор длина которого равна 0. Обознач как ноль и палочка сверху
Коллинеарные- если лежат на одной прямой или параллельных прямых,т.е а||b
Компланарные- три вектора в пространстве если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях. Если хотя бы один из них нулевой или два коллинеарны,то такие векторы компланарны.
Орт вектора- единичный вектор,направление которого совпадает с направлением вектора а, обозначается как а и палочка с нулем сверху.
3.Линейные операции над геометрич.Векторами.
К ним относят: сложение, вычитание, умножение на число.
Сложение. а+b=ОВ строим треугольник,начало одного вектора совмещая с концом другого( Правило треугольника. ). а+b=с строим параллелограмм,совмещая концы векторов. Полученная большая диагональ-сумма этих векторов
Разность. См.правило треугольника,только в этом случае совмещаем концы векторов
Произведение на число(скаляр). Это вектор лямда на а,равный длине |лямда| на |а|. это произведение коллинеарно вектору а,имеет направление вектора а если лямда больше нуля и минус а если лямда меньше нуля. Отсюда следуют свойства: каждый вектор равен произведению его модуля на орт и если b=лямда на а,то b||a,наоборот,если b||a,то при некотором лямда верно b=лямда на a. Коллинеарные векторы отдельно см в предидущем впоросе.
4. Деление отрезка в заданном отношении.
Т.к корд.равны значит то,что равные векторы имеют равные координаты.
Если лямда равна единице то АМ=МВ, если лямда равна нулю,то А и М совпадают, если лямда меньше нуля то М делит АВ внешним образом (точка лежит вне отрезка).
5.Понятие радиус-вектора. Разложение произвольного вектора по ортам коорд осей на плоскости и в пространстве.
Радиус вектор - вектор, задающий положения точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат. Для произвольной точки в пространстве, радиус-вектор — это вектор, идущий из начала координат в эту точку
Выделем на корд.осях единичные векторы: I,j,k. Выберем произв.вектор а пространства и совместим его начало с началом коорд: а=ОМ. Найдем проекции вектора а на коорд оси. Проведем через конец вектора ОМ плоскочти,параллельные координатным плоскостям. Точки пересеч этих плоскостей с осями обозначим через М1,М2,М3. Получим прямоуг парал-пед,одной из диагоналей которого является вектор ОМ. По опред суммы векторв находим: а=ОМ1+M1N+NM. А так как M1N=OM2, NM=OM3,то а=ОМ1+ОМ2+ОМ3. ОМ1=|ОМ1|i и тд. Обозначим проекции вектора на оси|ОМ1|=аy итд. В итоге получается: a=ax на i+ay на j+ az на k.
6.Действия с геометрическими векторами в коорд форме. Признак коолинеарности векторов.
Линейные операции. При сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (вычитаются). а+b=(ах+bx; ay+by; az+bz). При умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр. ᵡ а= (ᵡаx; ᵡay ;ᵡaz )
Равенство векторов: а и b равны тогда и только тогда,когда выполняется равенство: ax=bx; ay=by; az=bz.
Координаты вектора: координаты вектора равны разностям соответсвующих координат его конца и начала.
Коллинеарность векторов: Проекции коллинеарных векторов пропорциональны,и наоборот, векторы, имеющие пропорциональные координаты коллинеарны. Док-во:
ax на i + ay на j + az на k = лямда ( bx на i + by на j + bz на k ) Отсюда: ax= лямда на bx итд.
Т.е ax\bx=ay\by=az\bz
7.Скалярное произведение геометрических векторов и его св-ва. Признак ортогональности векторов.
Скалярное произведение двух ненулевых векторов а и b это число,равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними
Св-ва скалярного произведения:
Переместительное: ab=ba,т.к |a| |b| =|b| |a| и cos (ab)= cos (ba)
Сочетательное: (лямда на а) на b = лямда на (a на b )
Распределительное: a (b+c)=ab+ac
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: a в квадрате = |a|в квадрате; в частности i=j=k=1 i,j,k –в квдрате
Если векторы а и b (ненулевые) взаимно перпендикулярны(ортогональны),то их скалярное произведение равно нулю, справедливо и обратное утверждение.