21.Угол между прямой и плоскостью

Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость.

Нахождение: Обозначим через γ угол между плоскостью Q и прямой L, а через β угол между векторами n(A,B,C) и S(m,n,p). S-направленный вектор на L. Тогда cosβ=nS \ |n| |S|.(косинус угла между векторами). Найдем синус γ,считая что γ меньше пи на два. Синус γ=синус(пи на два – β)=косинусβ. Получаем: Sinγ=|Am+Bn+Cp| \ A²+B²+C² под корнем + m²+n²+p² под корнем.

22)Окружность и ее уравнение

Окружностью называется множество точек равноотдаленных от центра. Простейшей кривой второго порядка является окружность. Окружностью радиуса R с центром в точке M0 называется множество всех точек М плоскости,удовлетворяющих условиюМ0М=R. Пусть М0 в Оху имеет координаты (х0,у0), а М(х,у)-произв.точка окружности. Тогда из равенства написанного выше получим:

(х-а )² + (у – в)² = R² -каноническое уравнение окружности с R(a;b)

В частности полагая а=0 в=о ,получим уравнение окружности с центром в начале координат x²+ y²= R²

Уравнение окружности (х-а )² + (у – в)² = R² после несложны преобразований примет вид x²+y²-2ax-2by+a²+b²-R²=0

23)Определение эллипса и его каноническое уравнение

Эллипсом называется множество всех точек плоскости,сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая,чем расстояние между фокусами

Выведем уравнение эллипса для этого введем на плоскости системы координат так чтобы фокусы лежали на оси абсцисс,а начало координат F1 b F2 попалам..

x²/а² + y²/в²=1 –каноническое уравнение эллипса.

Эллипс-кривая второго порядка.

24)Определение гиперболы и ее каноническое уравнение

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами,есть величина постоянная ,меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через F1 и F2,расстояние между ними через 2с,а модуль разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов через 2а. По определению 2а<2c ,т.е а<c Для вывода ур-ния гиперболы выберем систему координат Оху так, чтобы фокусы F1(-с,0) и F2(с,0) лежали на Ох, а начало координат совпало с серединой отрезка F1F2. Пусть М(х,у)-произвольная точка гиперболы, тогда согласно определению гиперболы MF1-MF2=плюс-минус 2а. подставляем координаты,считаем.

x²/а²- у²/в²=1, где в²= с²-а² -каноническое уравнение

25) Определение параболы и ее каноническое уравнение

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается через p.

Для вывода уравнения параболы введем на плоскости прям систем координат так чтобы ось абсцисс проходила через фокус перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к фокусу( а начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой) и будем считать ее (+) направленной от директрисы к фокусу. В выбранной системе фокус имеет координаты (p\2,0). Пусть М произвольная точка параболы. Соединим М с F,проведем отрезов MN перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы MF=MN,далее считаем по формуле расстояния между двумя точками

у²=2рх – каноническое уравнение параболы. Парабола есть линия второго порядка.