16. Общее уравнение плоскости и его исследование

Ax+By+Cz+D=0-общее уравнение плоскости. Уравнение определяет в системе координат некоторую плоскость

Частные случаи.

Если D=0,то плоскость проходит через начало координат. Ax+By+Cz=0, этому ур-ию удовлетворяет точка О(о,о,о)

Если С=0,то плоскость параллельна оси Oz. Ax+By+D=0

Если В=0,то параллельна оси Оу

Если А=0,то параллельна оси Ох

Если С=D=0,то плоскость проходит через О(0,0,0) параллельно Оz,т.е плоскость проходит через Oz. Аналогично,A=D проходит через Ох и В=D проходит через Оу.

Если А=В=0,то плоскость параллельна Оху. Аналогично, B=C параллельна Oyz и A=C параллельна Oxz.

Если A=B=D=0, то это уравнение плоскости Оху. Аналогично, у=0-уравнение Охz, х=0-уравнение Оуz

17.Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

Угол между плоскостями – один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Угол γ между нормальными векторами n1=(A1,B1,C1) и n2=(A2,B2,C2) плоскостей Q1 и Q2 равен одному из этих углов. Поэтому cosγ= n1n2 \ |n1| |n2|

Условие перпендикулярности: Если плоскости перпендикулярны, то таковы же и их нормали. Но тогда n1n2=0, т.е A1A2+B1B2+C1C2=0. Полученное равенство и есть условие перпендикулярности двух плоскостей.

Условие параллельности: Если плоскости параллельны, то параллельны и их нормали. Но тогда координаты векторов пропорциональны: A1\A2=B1\B2=C1\C2. Это и есть условие параллельности двух плоскостей.

18.Различные виды уравнений прямой в пространстве

Векторное уравнение прямой: r=r0+tS.

Пусть прямая L задана ее точкой M0 и направляющим вектором S(m,n,p). Возьмем на L произвольную точку M(x,y,z). Обозначим радиус-векторы точек M0 и M соответственно через r0 и r. Очевидно,что три вектора связаны отношением: r=r0=M0M. M0M || S значит M0M=tS(t-параметр, скалярный множитель)

Параметрическое уравнение прямой: х=x0+mt, y=y0+nt, z=z0+pt все в системе. Векторное уравнение прямой,записанное в другом виде. Учитывая,что r=(x,y,z), r0=(x0,y0,z0), tS=(tm,tn,tp).

Каноническое уравнение прямой: x-x0\ m = y-y0\ n = z-z0\p. Уравнение можно было бы получить сразу из параметрического,исключив параметр t.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки: x-x1\x2-x1=y-y1\y2-y1=…

Пусть L проходит черех М1 и М2,в кач-ве направляющего вектора можно взять вектор M1M2=S,следовательно m=x-x1, n=y2-y1,p=z2-z1.

Общее уравнение прямой: A1x+B1y+C1z=0 и A2x+B2y+C2z=0 в системе. В данном случае общее уравнение прямой можно найти как линию пересечения двух непараллельных плоскостей.

19.Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.

Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.

Направляющий вектор-S(m,n,p).

20.Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве

Прямая и плоскость параллельны, если векторы n и S перпендикулярны(Sn=0).Равенство: Am+Bn+Cp=0

Прямая и плоскость перпендикулярны, если векторы n и S параллельны. Равенство: А\m=B\n=C\p