11)Смешанное произведение: Определение, вычисление, геометрический смысл

Рассмотрим произведение векторов a b c, составленное след.образом: (axb)c. Первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторно-скалярным или смешанным произв. Трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.

Выясним геометрический смысл выражения (АхВ)хС. Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы а,в,с и вектор d=AxB. Таким образом смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «+», если эти вектора образуют правую тройку, и со знаком «-« если левую.

Смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

12)Общее уравнение прямой на плоскости и его исследование.

Покажем, что Ах+ Ву+С=о есть уравнение прямой линии. Возможны два случая:

Если В=0,то ур-ние имеет вид Ах+С=0, причем А не равно 0,т.е х=-с/а. Это есть ур-ние прямой, ||оси Оу и проходящей через точку (-с/а; 0)

Если В не равно 0,то из ур-ния получаем у=-А/в*х-с/в. Это есть ур-ние прямой с угловым коэф. K=tg(альфа)=-а/в. Итак, ур-ние есть ур-ние прямой линии, оно называется общим уравнением прямой.

Некоторые частные случаи общего ур-ния прямой :

1)если А=0,то ур-ние приводится к виду у=-с/в.Это есть ур-ние прямой,параллельной оси Ох.

2)Если В=0,то прямая || оси Оу

.

3)Если С=0,то получаем Ах+Ву=0. Уравнению удовлетворяют координаты точки О(0;0), прямая проходит через начало координат.

13) Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Геометрический смысл коэффициентов. Пучок прямых.

Число k=tg(альфа) называется угловым коэффициентом прямой,а уравнение у=кх+b- уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если прямая проходит через начало координат,то b=0 и, следовательно, уравнение этой прямой будет иметь вид у=kx

Если прямая параллельна оси Ох, то альфа=π/2, ур-ние y=kx+b теряет смысл, т.к для нее угловой коэффициент k=tg(альфа)=tgπ/2 не существует. В этом случае уравнение будет иметь вид : х=а ,где а- абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох. Отметим, что уравнения у=кх+b и х=а есть уравнения первой степени.

14)Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости и в пространстве.

Пусть прямая проходит через 2 точки М1( х1;y1) M2(x2;y2), т.к прямая проходит через точку М, то ее можно задать уравнением:

у-у1=к(х-х1)

т.к М2 с координатами х2;у2 лежит на этой прямой то ее координаты удовлетворяют уравнению.

у-у1/у2-у1=х-х1/х2-х1- уравнение прямой проходящей через 2 заданные точки

|АВ|=(у1-у2)²+(х2-х1)²-все под корнем

|АВ|=(х2-х1)²-(у2-у1)²+(z2+z1)²-все под корнем

15.Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости

Угол между прямыми: tgγ=k2-k1 \ 1+k2k1. Вывод формулы: по рисунку нужно найти угол гамма на который нужно повернуть L1 до совпадения с L2 (в полож направлении). Имеем: α2=γ+α1 или γ=α2-α1 (по т. о внешнем угле треугольника). Тогда tgγ=tg(α2-α1). Т.к tg α1=k1, tgα2=k2,то получим ур-ие см.выше. Если не вникать какая из прямых первая а какая вторая то удобно брать ур-ие по модулю.

Условие параллельности- равенство угловых коэффициентов прямых.

Условие перпендикулярности: k1k2=-1