- •3.Линейные операции над геометрич.Векторами.
- •5.Понятие радиус-вектора. Разложение произвольного вектора по ортам коорд осей на плоскости и в пространстве.
- •6.Действия с геометрическими векторами в коорд форме. Признак коолинеарности векторов.
- •7.Скалярное произведение геометрических векторов и его св-ва. Признак ортогональности векторов.
- •8.Вычисление скалярного произведения векторов через их координаты, длина вектора, расстояние между двумя точками. Вычисление косинуса угла между двумя векторами
- •9.Направляющие косинусы вектора и их свойство.
- •10)Векторное произведение. Определение,вычисление,св-ва.
- •11)Смешанное произведение: Определение, вычисление, геометрический смысл
- •14)Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости и в пространстве.
- •15.Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости
- •16. Общее уравнение плоскости и его исследование
- •17.Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •18.Различные виды уравнений прямой в пространстве
- •19.Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
- •20.Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве
- •21.Угол между прямой и плоскостью
- •22)Окружность и ее уравнение
- •23)Определение эллипса и его каноническое уравнение
- •24)Определение гиперболы и ее каноническое уравнение
- •25) Определение параболы и ее каноническое уравнение
- •26)Матрицы и основные определения связанные с этим понятием
- •27)Действия с матрицами. Законы.Которым эти действия удовлетворяют
- •28)Определение определителя и его св-ва
- •29.Определитель, минор и алгебраическое дополнение элемента определителя.
- •30. Обратная матрица. Теорема о существовании и единственности обратной матрицы. Способы вычисления обратной матрицы.
- •31. Определение ранга матрицы. Базисный минор. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
- •32. Система линейных уравнений и ее решение. Различные формы записи системы линейных уравнений. Определения однородной, неоднородной, совместной, несовместной, определенной и неопределенной систем
- •33. Матричный способ решения систем линейных уравнений
- •34. Формулы Крамера
- •35. Теорема Кронекера-Капелли.
- •37)Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •38)Теорема о совместности однородной системы линейных уравнений.
- •39)Теорема о существовании ненулевых решений однородных систем линейных уравнений.
- •40)Линейное(векторное) пространство. Пространство rⁿ и линейные операции в этом пространстве.
- •41)Скалярное произведение n-мерных векторов. Неравенство Коши-Буняковского. Косинус угла между m-мерными векторами.
- •42)Определение линейно зависимых и независимых векторов. Критерий линейной зависимости и независимости векторов в пространстве rⁿ.
- •43.Базис линейного пространства. Примеры базисов в r в степени n.
- •44. Теорема о единственности разложения вектора линейного пространства по базису.
- •45. Подпространство линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов. Сумма и пересечение подпространств. Примеры подпространств.
- •46. Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы. Их св-ва.
- •47. Характерестическое уравнение, соответствующее квадратной матрице. Теорема о связи собственных чисел матрицы с корнями этого уравнения.
- •48. Линейные операторы. Основные понятия.
- •49.Комплексные числа в алгебраической форме записи. Геометрическое изображение комплексных чисел. Действия с комплексными числами в алгебраической форме записи. Решение алгебраических уравнений.
- •51)Действия с комплексными числами в тригонометрической и экспоненциальной(показательной) форме. Формула Муавра.
- •53)Квадратичные формы. Критерий Силвестра.
30. Обратная матрица. Теорема о существовании и единственности обратной матрицы. Способы вычисления обратной матрицы.
Матрица называется обратной матрице А,если выполняется условие: А×Ав минус первой степени=Е.(единичная матрица того же порядка)
Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.
Берем произвольную матрицу.составляем к ней союзную А*. находим произведение обычной матрицы на союзную. Получается определитель умноженный на единичную матрицу. Выходит: А×А*=detA×E. Перепишем в виде: А*/detA×А=Е. Т.к А в минус первой на А тоже равно Е,отсюда следует: А в минус первой=А*\detA. Ч.т.д. Нектороые св-ва обратной матрицы: А в минус первой × А=Е, (АВ) в минус первой= А в минус первой на В в минус первой, А в минус первой транспанированная равно А транспанированная в минус перовй итд.
31. Определение ранга матрицы. Базисный минор. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
Ранг матрицы - это наибольший из порядков ее миноров(отличных от нуля). r(A).
Минором некоторого элемента определителя n-ного порядка называется определитель n – первого порядка.который получается из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается mij. Базисный минор – минор, порядок которого определяет ранг матрицы.
Ранг матрицы вычисляется при помощи элементарных преобразований над ней. К ним относятся
-перестановка местами двух || рядов матрицы
-умножение всех элементов ряда матрицы на число,отличное от нуля.
-прибавление ко всем элементам ряда матрицы ссответствующих элементов || ряда,умноженных на одно и то же число.
32. Система линейных уравнений и ее решение. Различные формы записи системы линейных уравнений. Определения однородной, неоднородной, совместной, несовместной, определенной и неопределенной систем
Система линейных алгебраических уравнений это систем вида: а11х1+а12х2+а1nхn=b1(первая строка,нижние по аналогии). Подлежат нахождению числа Xn. bi-свободный член. Такую систему удобно записывать в матричном виде: А×Х=В. Х-вектор столбец из неизвестных х. В-вектор столбец из свободных членов b. А-матрица коэффициентов системы,называемая основной матрицей. Расширенная матрица системы-матрица А, дополненная столбцом свободныз членов. Решением системы называется n значений неизвестных х1=с1,х2=с2 и тд. Решение можно записать в виде матрицы-столбца С.
Система уравнений называется совместной если она имеет хотя бы одно решение, несовместной если не имеет решений. Совместная система называется определенной если она имеет единственное решение и неопределенной если более одного решения. Системы эквиваленты если имею одно и то же общее решение. Система линейных уравнений называется однородной если все свободные члены равны нулю.
33. Матричный способ решения систем линейных уравнений
Это решение системы по формуле Х=А в минус первой на B. А в минус первой=1\detA × А*. Вывод формулы: А×Х=В,умножим обе части на А в минус первой,и т.к Ав минус первой × А=Е, получим наше уравнение.
34. Формулы Крамера
xi=Δi\Δ. Δ1 получена из Δ путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
Записываем матричное равенство в виде: (х1)=1\Δ (А11 А12 А13) × (b1) . записана первая строка,нижние по аналогии. Далее внесем определитель и свободные члены в основную матрицу. Отсюда следует: х1=А11b1+A12b2+… (нижние строки по аналогии). Но А11b1+A12b2+… есть разложение определителя по элементам первого столбца. Значит см.выше.