37. Уравнение плоскости в трехмерном пространстве.

Пусть вектор является нормальным вектором плоскости , проходящей через точку . Тогда уравнение

является уравнением плоскости .

Вектор лежит на плоскости . Следовательно, вектор ортогонален вектору n. Если же взять точку , не лежащую на плоскости , то вектор не будет ортогональным вектору n. Так как условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения, то условием того, что точка лежит в плоскости , является выполнение равенства

38. Углы между плоскостями и прямыми.

Для вычисления угла между прямыми можно пользоваться методами вычисления угла между двумя векторами. Пусть заданы две прямые своими общими уравнениями

и

Их направляющими векторами являются векторы

и

Тогда косинус одного из углов между прямыми вычислим по формуле

Угол между двумя плоскостями в пространстве j связан с углом между нормалями к этим плоскостям j₁ соотношением: j = j₁ или j = 180⁰ - j₁.

39. Условия параллельности и перпендикулярности.

Условие параллельности двух прямых есть условие параллельности их направляющих векторов, т.е.

.

Условие перпендикулярности двух прямых есть условие перпендикулярности их направляющих векторов, т.е.

Если две прямые заданы своими уравнениями с угловыми коэффициентами

и ,

то поскольку A1 = k1, B1 = -1 и A2 = k2, B2 = -1, то условие перпендикулярности принимает вид:

, т.е.

,

а условие параллельности прямых

.

40. Подпространства. Прямые и гиперплоскости в линейном пространстве.

Множество называется подпространством линейного пространства V, если:

1)

2)

Линейной комбинацией векторов называют вектор

где - коэффициенты линейной комбинации. Если комбинация называется тривиальной, если - нетривиальной.