- •1. Матрицы и основные операции над ними.
- •2. Виды матриц. Геометрическая интерпретация векторов.
- •3. Умножение матриц.
- •4. Определители матриц второго и третьего порядка.
- •6. Свойства определителей.
- •9. Теорема Кронекера-Капелли о разрешимости системы линейных алгебраических уравнений.
- •10. Запись и решение системы линейных алгебраических уравнений в линейном виде.
- •11. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
- •12. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса.
- •13. Системы линейных однородных уравнений. Свойства. Фундаментальное решение.
- •14. Общее решение системы линейных алгебраических уравнений. Свободные неизвестные. Базисные решения.
- •15. Модель многоотраслевой экономики Леонтьева.
- •16. Линейное пространство.
- •17. Линейная зависимость и независимость векторов.
- •18. Базис линейного пространства. Размерность линейного пространства.
- •20. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.
- •21. Ортонормированный базис. Евклидово пространство.
- •22. Линейные преобразования. Свойства.
- •24. Ранг и дефект линейного преобразования.
- •2 5. Определение, геометрическая интерпретация и формы записи комплексного числа.
- •27. Собственные значения и собственные векторы матриц, свойства собственных векторов.
- •28. Линейная модель обмена.
- •29. Понятие квадратичной формы. Матричная запись.
- •30. Канонический вид квадратичной формы.
- •32. Критерий Сильвестра.
- •33. Уравнения прямой в двухмерном пространстве.
- •34. Кривые второго порядка. Эллипсы.
- •35. Кривые второго порядка. Гиперболы.
- •36. Уравнение прямой в трехмерном пространстве.
- •37. Уравнение плоскости в трехмерном пространстве.
- •38. Углы между плоскостями и прямыми.
- •39. Условия параллельности и перпендикулярности.
- •40. Подпространства. Прямые и гиперплоскости в линейном пространстве.
22. Линейные преобразования. Свойства.
Ортогональные операторы
Линейный оператор называется ортогональным, если
Для того чтобы оператор был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в ортонормированном базисе была ортогональной.
Ортогональные операторы и только они сохраняют длину вектора, т. е.
Сопряженные операторы
Оператор называется сопряженным линейному оператору , если
Оператор также является линейным оператором. Если f в некотором ортогональном базисе имеет матрицу A, то в этом базисе оператор имеет матрицу .
Свойства сопряженных операторов: (f - невырожденный).
Самосопряженные операторы
Линейный оператор называется самосопряженным (симметрическим), если
Для самосопряженного оператора
Оператор является самосопряженным тогда и только тогда, когда его матрица в некотором ортонормированном базисе симметрическая.
Свойства самосопряженных операторов: 1) самосопряженный оператор имеет только действительные собственные числа; 2) всякий самосопряженный оператор является оператором простой структуры; 3) для всякого самосопряженного оператора существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого оператора.
23. Нахождение матрицы линейного преобразования.
Пусть в n- мерном линейном пространстве с базисом , ,…, задано линейное преобразование А. Тогда векторы А ,А ,…,А - также векторы этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:
A = a11 + a21 +…+ an1
A = a12 + a22 +…+ an2
……………………………….
A = an1 + an2 +…+ ann
Тогда матрица А = называется матрицей линейного преобразования А.
Если в пространстве L взять вектор , то A Î L.
, где
……………………………..
Эти равенства можно назвать линейным преобразованием в базисе , ,…, .
В матричном виде:
, А× ,
24. Ранг и дефект линейного преобразования.
Пусть A — матрица размера над полем C (или R). Пусть T — линейное преобразование, соответствующее A в стандартном базисе; это значит, что T(x) = Ax. Ранг матрицы A — это размерность области значений преобразования T.
Ядро оператора: - множество, обозначаемое Ker f:
Область значений (образ) оператора - множество, обозначаемое Im f:
Множества Ker f и Im f являются подпространствами пространства V.
Ранг оператора (обозначение: dim Im f) - ранг матрицы A линейного оператора f,
dim Im f = rank A.
Дефектом оператора называют dim Ker f,
dim Im f + dim Ker f = n.
2 5. Определение, геометрическая интерпретация и формы записи комплексного числа.
Комплексным числом z будем называть упорядоченную пару действительных чисел x, y записанную в форме z = x + iy, где i- новый объект ("мнимая единица"), для которого при вычислениях полагаем i2 = -1.
Первая компонента комплексного числа z, действительное число x, называется действительной частью числа z, это обозначается так: x = Re z; вторая компонента, действительное число y, называется мнимой частью числа z: xy = Im z.
Геометрически комплексное число z = x + iy изображается как точка с координатами ( x, y) на плоскости. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью С.
Тригонометрическая форма комплексного числа. Запись комплексного числа в виде z = x + iy называется алгебраической формой комплексного числа. Изобразим число z как точку на плоскости с декартовыми координатами x, y. Если теперь перейти к полярным координатам , то , поэтому . Угол называется аргументом комплексного числа z и обозначается : . Аргумент комплексного числа определён неоднозначно (с точностью до слагаемых, кратных ): если, например, , то значения , равные и т.д. тоже будут соответствовать числу z; значение аргумента, удовлетворяющее условиям , называют главным; для обозначения всех значений аргумента комплексного числа z применяется символ : .
Показательная форма комплексного числа. Ряд Маклорена для функции сходится к функции при любом действительном х. Формально запишем это разложение для :
Степени числа i: i 2 = -1; i 3 = i 2 i = - i ; i 4 = i 2 i 2 = 1 ; i 5 = i 4 i = i ; i 6 = i 2 = -1; далее значения степеней повторяются (для отрицательных степеней это тоже справедливо: i -1 = - i ; i - 2 = -1; i - 3 = i ; i -4 = 1 ; и т.д.). Поэтому . В круглых скобках стоят ряды для и , которые сходятся для любого действительного ; поэтому получаем . Эта формула называется формулой Эйлера. Теперь любое комплексное число можно представить как ; эта форма записи называется показательной.
26. Операции над комплексными числами.
Два комплексных числа z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: .
Множество комплексных чисел неупорядочено, т.е. для комплексных чисел не вводятся отношения "больше" или "меньше".
Суммой двух комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 называется комплексное число z, определяемое соотношением z =(x1 + x2) + (y1 + y2) i, т.е. Re(z1 + z2) = Re z1 + Re z2, Im(z1 + z2) = Im z1 + Im z2.
Это означает, что геометрически комплексные числа складываются как векторы на плоскости, покоординатно.
Произведением двух комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 называется комплексное число z, определяемое соотношением z = (x1x2 - y1y2) + (x1y2 + x2y1) i, т.е.
Re(z1 z2) = Re z1 Re z2 – Im z1 Im z2; Im(z1 z2) = Re z1 Im z2 + Im z1 Re z2.
Для нахождения частного комплексных чисел домножим числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю: .