- •1. Матрицы и основные операции над ними.
- •2. Виды матриц. Геометрическая интерпретация векторов.
- •3. Умножение матриц.
- •4. Определители матриц второго и третьего порядка.
- •6. Свойства определителей.
- •9. Теорема Кронекера-Капелли о разрешимости системы линейных алгебраических уравнений.
- •10. Запись и решение системы линейных алгебраических уравнений в линейном виде.
- •11. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
- •12. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса.
- •13. Системы линейных однородных уравнений. Свойства. Фундаментальное решение.
- •14. Общее решение системы линейных алгебраических уравнений. Свободные неизвестные. Базисные решения.
- •15. Модель многоотраслевой экономики Леонтьева.
- •16. Линейное пространство.
- •17. Линейная зависимость и независимость векторов.
- •18. Базис линейного пространства. Размерность линейного пространства.
- •20. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.
- •21. Ортонормированный базис. Евклидово пространство.
- •22. Линейные преобразования. Свойства.
- •24. Ранг и дефект линейного преобразования.
- •2 5. Определение, геометрическая интерпретация и формы записи комплексного числа.
- •27. Собственные значения и собственные векторы матриц, свойства собственных векторов.
- •28. Линейная модель обмена.
- •29. Понятие квадратичной формы. Матричная запись.
- •30. Канонический вид квадратичной формы.
- •32. Критерий Сильвестра.
- •33. Уравнения прямой в двухмерном пространстве.
- •34. Кривые второго порядка. Эллипсы.
- •35. Кривые второго порядка. Гиперболы.
- •36. Уравнение прямой в трехмерном пространстве.
- •37. Уравнение плоскости в трехмерном пространстве.
- •38. Углы между плоскостями и прямыми.
- •39. Условия параллельности и перпендикулярности.
- •40. Подпространства. Прямые и гиперплоскости в линейном пространстве.
15. Модель многоотраслевой экономики Леонтьева.
Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.
Введем следующие обозначения:
xi - общий (валовой) объем продукции i-й отрасли (i = 1,2,...,n);
xij - объем продукции i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью в процессе производства (i,j = 1,2,...,n);
yi - объем конечного продукта i-й отрасли для непроизводственного потребления.
Так как валовой объем продукции любой i-й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями и конечного продукта, то
xi = (xi1 + xi2+ ... + xin) + yi , (i = 1,2,...,n).
Эти уравнения (их n штук) называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в эти уравнения, имеют стоимостное выражение.
Введем коэффициенты прямых затрат:
aij = xij / xj , (i,j = 1,2,...,n),
показывающие затраты продукции i-й отрасли на производство единицы стоимости j-й отрасли.
Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты aij будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е.
xij = aijxj , (i,j = 1,2,...,n),
вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной.
Теперь соотношения баланса примут вид:
xi = (ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn) + yi , (i = 1,2,...,n),
Обозначим
, , ,
где
X - вектор валового выпуска;
A - матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица);
Y - вектор конечного продукта.
Тогда соотношения баланса можно записать в виде:
X = AX + Y.
Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.
Перепишем матричное уравнение в виде:
(E - A) X = Y.
Если матрица (E - A) невырожденная, т.е. ее определитель не равен нулю, тогда:
X = (E - A)-1 Y.
Матрица S = (E - A)-1 называется матрицей полных затрат.
Чтобы выяснить экономический смысл элементов матрицы S = (sij), будем задаваться единичными векторами конечного продукта:
, , …, .
Тогда соответствующие векторы валового выпуска будут:
, , …, .
Следовательно, каждый элемент sij матрицы S есть величина валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли.
В соответствии с экономическим смыслом задачи значения xi должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях yi и aij.
Матрица А называется продуктивной, если для любого вектора Y существует решение X уравнения (E - A) X = Y. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.
16. Линейное пространство.
Пусть V - непустое множество (его элементы будем называть векторами и обозначать ...), в котором установлены правила:
1) любым двум элементам соответствует третий элемент , называемый суммой элементов (внутренняя операция);
2) каждому и каждому отвечает определенный элемент (внешняя операция).
Множество V называется действительным линейным (векторным) пространством, если выполняются аксиомы:
I. ,
II. ,
III. (нулевой элемент, такой, что , ).
IV. (элемент, противоположный элементу ), такой, что .
V. , .
VI. , ,
VII. , ,
VIII. , ,