27. Собственные значения и собственные векторы матриц, свойства собственных векторов.

Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , если ( для комплексного ), такое, что Число называется собственным числом (собственным значением) оператора f, соответствующим этому собственному вектору.

Если в некотором базисе оператор f имеет матрицу А и в том же базисе вектор имеет координатный столбец X, то или

Собственные числа линейного оператора - корни характеристического уравнения , где - матрица оператора f, - символ Кронекера.

Для каждого собственного значения соответствующие собственные векторы могут быть найдены из матричного уравнения или соответствующей ему системы линейных уравнений

Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид

где - соответствующие собственные значения.

28. Линейная модель обмена.

В качестве примера математической модели экономического процесса, приводящей к понятию собственного вектора и собственного значения матрицы, рассмотрим линейную модель обмена (модель международной торговли).

Пусть имеется n стран S₁ , S₂ , ... , S_n, национальный доход каждой из которых равен соответственно x₁ , x₂ , ... , x_n. Обозначим коэффициентами a_ij долю национального дохода, которую страна S_j тратит на покупку товаров у страны S_i. Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т.е.

a_1j + a_2j + ... + a_nj = 1 (j = 1,2,...,n).

	||	a11	a12	...	a1n	||
		||	a21	a22	...	a2n	||
A	=	||	...	...	...	...	||	,
		||	an1	an2	...	ann	||

Рассмотрим матрицу которая получила название структурной матрицы торговли. В соответствии с предыдущим равенством сумма элементов любого столбца матрицы А равна 1.

Для любой страны S_i (i = 1,2,...,n) выручка от внутренней и внешней торговли составит:

p_i = a_i1 x₁ + a_i2 x₂ + ... + a_in x_n.

Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность торговли каждой страны S_i, т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода:

p_i > = x_i (i = 1,2,...,n).

Если считать, что p_i > x_i (i = 1,2,...,n), то получаем систему неравенств:

a11

x1

+

a12

x2

+

...

+

a1n

xn

>

x1

,

a21

x1

+

a22

x2

+

...

+

a2n

xn

>

x2

,

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

an1

x1

+

an2

x2

+

...

+

ann

xn

>

xn

.

Сложив все неравенства системы, получим после группировки:

x₁(a₁₁ + a₂₁ + ... + a_n1) + x₂(a₁₂ + a₂₂ + ... + a_n2) + ... + x_n(a_1n + a_2n + ... + a_nn) > x₁ + x₂ + ... + x_n.

Учитывая, что выражения в скобках равны единице, мы приходим к противоречивому неравенству:

x₁ + x₂ + ... + x_n > x₁ + x₂ + ... + x_n.

Таким образом, неравенство p_i > x_i (i = 1,2,...,n) невозможно, и условие p_i > = x_i принимает вид p_i = x_i (i = 1,2,...,n). (С экономической точки зрения это понятно, так как все страны не могут одновременно получать прибыль.)

Вводя вектор x = (x₁ , x₂ , ... , x_n) национальных доходов стран, получим матричное уравнение:

AX = X,

где X - матрица-столбец из координат вектора x, т.е. задача свелась к отысканию собственного вектора матрицы A, отвечающего собственному значению, равному единице.