29. Понятие квадратичной формы. Матричная запись.

Первоначально теория квадратичных форм использовалась для исследования кривых и поверхностей, задаваемых уравнением второго порядка, содержащими две или три переменные, Позднее эта теория нашла и другие приложения. В частности, при математическом моделировании экономических процессов целевые функции могут содержать квадратичные слагаемые. Многочисленные приложения квадратичных форм потребовалипостроения общей теории, когда число переменных равно любому , а коэффициенты квадратичной формы не всегда являются вещественными числами.

Квадратичной формой от неизвестных называется сумма, каждое слагаемое которой является либо квадратом одного из неизвестных, либо произведением двух разных неизвестных.

Каждую квадратичную форму можно записать в стандартном виде. Для этого сначала приводятся подобные в квадратичной форме, затем коэффициенты при обозначаются через , а коэффициенты при через , причем Член записывается в виде . После этих преобразований квадратичную форму можно записать в виде:

Матрица:

называется матрицей квадратичной формы . Так как , то – симметричная матрица.

С учетом правила умножения матриц можно вывести матричную форму записи квадратичной формы.

,

где – матрица квадратичной формы, – матрица–столбец неизвестных:

30. Канонический вид квадратичной формы.

Квадратичная форма называется канонической, если все т. е.

Всякую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью линейных преобразований. На практике обычно применяют следующие способы.

1. Ортогональное преобразование пространства :

где - собственные значения матрицы A.

2. Метод Лагранжа - последовательное выделение полных квадратов. Например, если

Затем подобную процедуру проделывают с квадратичной формой и т. д. Если в квадратичной форме все но есть то после предварительного преобразования дело сводится к рассмотренной процедуре. Так, если, например, то полагаем

3. Метод Якоби (в случае, когда все главные миноры квадратичной формы отличны от нуля):

31. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы.

Положительно-определенные

Квадратичные формы, для которых таких, что Нормальный вид Квадратичная форма является положительно-определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны (критерий Сильвестра).

Отрицательно-определенные

Квадратичные формы, для которых таких, что Квадратичная форма является отрицательно-определенной тогда и только тогда, когда

32. Критерий Сильвестра.

Критерий Сильвестра определяет, является ли квадратная матрица положительно (отрицательно) определённой.

Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу . Тогда эта форма положительно определенна, если и только если все её угловые миноры положительны, и отрицательно определенна, если и только если их знаки чередуются, причём .< 0, и неотрицательно определена если и только если все её главные миноры неотрицательны.

.