Обратная матрица. Определение, теорема существования и единственности обратной матрицы. Назад

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E

Теорема: Если у матрицы существует обратная матрица , то она единственна.

Теорема Крамера, формулы Крамера.

Назад

Система из m уравнений и n неизвестных в случае, когда определитель этой системы отличен от нуля имеет решение и только одно это решение находится по формулам Х= t i/ t для всех i где

• -определитель системы

i-определитель матрицы полученной заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

X_i= i=

Линейные операции над векторами в r 3. Базис и координаты вектора в трехмерном пространстве. Теорема о разложении по базису.

Назад

К линейным операциям относятся:

1. Сложение и вычитание векторов

2. Умножение вектора на число

Базис — множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть единственным образом представлен в виде их линейной комбинации.

Координаты вектора в трехмерном пространстве (x,y,z)

Теорема.

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

Скалярное произведение векторов в R₃ (определение, свойства, выражение через координаты сомножителей, приложения).

Назад

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Свойства:

Через i,j,k

Векторное произведения векторов в R ₃ (определение, свойства, выражение через координаты сомножителей, приложения).

Назад

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, который удовлетворяет трём условиям:

1) ;

2)имеют длину равную произведению длин векторов a и b на sin угла между ними.

3) вектора a,b,c образуют правую тройку.

Свойства:

Через i,j,k

Смешанное произведение векторов в r 3 (определение, свойства, выражение через координаты сомножителей, приложения). Назад

Смешанным произведением трех векторов называется некоторое число.

Свойства:

1.Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

2.Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного произведения (

3.Смешанное произведение меняет знак при перемене мест любых двух векторов со множителями

= -

4.Смешанное произведение ненулевых векторов тогда, когда тройка векторов компланарны.

Через i,j,k