Второй замечательный предел.

Назад

Непрерывные функции, их свойства. Непрерывность элементарных функций.

Назад

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x₀ если выполняется 3 условия

Элементарная функция – это функция которую можно задать одной формулой, содержащее конечное число арифметических действий и суперпозиций.

Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке в которой она определена.

Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва, их классификация.

Назад

Если функция непрерывна на отрезке то она достигает на этом отрезке своего наибольшего наименьшего значений

Если функция непрерывна на отрезке то она ограничена на этом отрезке

Точки разрыва- это точки в которых нарушается непрерывность функции.

Точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа

Точка разрыва второго рода, если по крайней пере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности

Определение производной. Геометрический и механический смысл производной. Уравнение касательной и нормали.

Назад

Производной функции y=f(x) в точке х₀ называется предел отношений произведения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к 0

Операция нахождения производной называется дифференцированием

Физический смысл

Пусть материальная точка движется не равномерно по некоторой прямой ив каждый момент времени t соответствует некоторое расстояние ОМ

s(t)

O M

S=S(t)- закон движения точки

Производная y' есть скорость протекания этого процесса

Геометрический смысл производной.

Угловой коэффициент касательной

Производная в точке x равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в точке абсцисса которой равна х

Уравнение касательной

Прямая перпендикулярная касательной в точке касания называется нормалью кривой.

Понятие дифференцируемости и дифференциала функции, связь с производной.

Назад

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x, если приращение D y этой функции в точке x представимо в виде D y =AD x +a (D x) D x,

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

dy=ƒ'(х)•∆х. дифференциал первого порядка.

Геометрический, механический смысл дифференциала, использование его в приближенных вычислениях.

Назад

Геометрический смысл

Если к графику гладкой функции в некоторой точке построить касательную, то, отложив на касательной такой отрезок, чтобы его проекция на ось Ох равнялась дельтаХ, получим в проекции на ось Оу отрезок, равный дифференциалу функции в точке касания.

Физический смысл дифференциала

линейное приближение к приращению физической величины при условии, что это приращение мало.

Связь между непрерывной и дифференцируемой функцией.

Назад

Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.4

Производные степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических, гиперболических, обратных тригонометрических функций.

Назад

(xⁿ)’=nx^n-1 степенной

показательной

логарифмической

Производная суммы, произведения и частного двух функций

Назад

Производная сложной функции.

Назад

Неявно заданные функций, их дифференцирование.

Назад

Достаточно продефферинцировать это уравнение по х рассматривая при этом у как функцию и полученное уравнение разрешить относительно у’

Прием логарифмического дифференцирования, производная функции u(x)^v(x).

Назад

Обратная функция, ее дифференцирование.

Назад

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

Функция является обратной к функции , если выполнены следующие тождества:

f(g(y)) = y для всех

g(f(x)) = x для всех

Для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е