Бесконечно малые функции, их свойства.

Назад

бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Функция называется бесконечно малой при x a , если

Свойства бесконечно малых функций

Пусть α(x) и β(x) — бесконечно малые функции при x → x0. Тогда

α(x) + β(x) — бесконечно малая функция при x → x0;

α(x) · f(x) — бесконечно малая функция при x → x0.

Теорема о пределе суммы, произведения и частного двух функций.

Назад

Предел суммы двух функций равен сумме их пределов

Предел произведения двух функций равен произведению их пределов

Предельные переходы в неравенствах.

Назад

Сравнение бесконечно малых (больших) функций.

Назад

b) Сравнение бесконечно больших функций

Также как и в предыдущем пункте будем рассматривать предел отношения двух функций. Только теперь у нас функции стремятся к бесконечности при аргументе x, стремящемся к А. Возможны следующие варианты:

1) , т.е. предел отношения функций существует и равен бесконечности. В этом случае говорят, что p(x) бесконечно большая функция более высокого порядка.

2) , т.е. предел отношения функций существует и равен С - некоторой константе. В этом случае говорят, что p(x) и q(x) бесконечно большие функции одного порядка.

3) , т.е. предел отношения функций существует и равен нулю. В этом случае говорят, что q(x) бесконечно большая функция более высокого порядка.

4) Если данный предел: не существует, в этом случае мы ничего не можем сказать о сравниваемых функциях и поэтому говорят, что функции не сравнимы.

Эквивалентные бесконечно малые функции (определение, свойства, приложения).

Назад

Если , то бесконечно малые функции и называются эквивалентными, обозначают ~ .

1. sinx~х при х→0;

2. tgx~х (х→0);

3. arcsinх ~ х (х→0);

4. arctgx~х (х→0);

5. 1-cosx~x2/2 (х→0);

6. ех-1~х (х→0);

7. αх-1~х*ln(a) (х→0);

8. ln(1+х)~х (х→0);

9. loga(l+х)~х•logaе (х→0);

10. (1+х)k-1~k*х, k>0 (х→0);

Первый замечательный предел.

Назад

Предел числовой последовательности. Монотонные и ограниченные последовательности. Число е.

Назад

Число а называется пределом последовательности если найдётся натуральное число N то при всех n>N выполняется неравенство |x_n-a|<

Последовательность не имеющая предела называется расходящейся

Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают.

Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

X_n=(1+ )ⁿ

Ограниченность.

• Всякая неубывающая последовательность ограничена снизу.

• Всякая невозрастающая последовательность ограничена сверху.

• Всякая монотонная последовательность ограничена по крайней мере с одной стороны.

• Монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена с обеих сторон.(Теорема Вейерштрасса об ограниченных монотонных последовательностях)

• Сходящаяся неубывающая последовательность ограничена сверху своим пределом.

• Сходящаяся невозрастающая последовательность ограничена снизу своим пределом.

Число е -иррациональное число, служащее основанием натуральных ЛОГАРИФМОВ.

2,71