1. Функции и способы их задания. Элементарные функции

Пусть даны 2 множества Х и У. Если к каждому элементу множества Х сопоставлен элемент множества У, то говорят, что задана функция из множества Х в множество У (задано отображение).

f: Х У (функция f отображает множество Х в множество У)

Пусть задана функция f, отображающая множество Х в множество У. Тогда множество Х называется областью определения функции. Множество всех элементов У из множества У, в которые отображаются элементы множества Х называются областью значений функции f.

Способы задания функции:

1-Аналитический – с помощью одной или нескольких формул

Пример: f(x)= x² + 3x - 4

2-Табличный – применяется, если область определения функции конечное множество

Пример: Х-множество студентов 1 курса, У- множество нат. чисел, f(x) – число баллов

Иванов	32
…	60
…50) …	100

3- Графический – задается с помощью графика (например метеорологические данные)

Простейшими элементарными функциями обычно называют линейную (y=kx+b), квадратичную (y=ax²+bx+c), степенную (y=xⁿ, где n целое число, не равно 1), показательную (y=a^x,где a больше 0 и не равно 1), логарифмическую (y=log_a x, где a больше 0 и не равно 1), тригонометрические (y=sin x, y=cos x, y=tgx,y=ctgx),обратные тригонометрические (y=arcsin x, y=arccos x, y=arctg x, y=arcctg x).

К элементарным функциям относятся основные элементарные функции и те, которые можно образовать из них с помощью конечного числа операций (сложения, вычитания, умножения и деления) и суперпозиций.

2. Предел последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.

Пусть каждому натуральному числу n поставлено в соответствие действительное число Xn. Тогда множество чисел Х1,Х2… Xn называется числовой последовательностью. Обозначение: {x_n}

Пусть дана числовая последовательность {x_n}. Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого положительного числа Е (эпсилон) найдется такой номер N, начиная с которого все члены последовательности лежат на расстоянии меньше Е от числа а.

Последовательность называется сходящейся, если она имеет предел. Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся.

3. Определение предела функции. Примеры.

Если любой последовательности {x_n}, сходящейся в точке а, последовательность у_n = f(x_n) сходятся в точке b, то говорят, что функция f(x) имеет предел в точке а, равный числу b. Обозначение:

Предел функции f(x) в точке а равен числу b, если для любого сколь угодного малого числа Е˃0 найдется такое b˃0, что если , то .

Обозначение: = b

Пример: f(x)= следует

4. Основные свойства пределов. Замечательные пределы.

1. Пусть функции f(x) и g(x) имеют пределы в точке а, . Тогда функции f(x) + g(x), f(x) - g(x), α х f(x), f(x) х g(x), ( при С ≠0) тоже имеют пределы в точке а и при этом:

α х f(x)) = α х В

2. Если , а предел , то:

Замечательные пределы:

1. 

2.