15) Замена переменных и интегрирование по частям для неопределенного интеграла.

Формулы замены переменных:

Пример:

Вводим новую переменную t=cosx. Тогда - t + C=

Интегрирование по частям:

Пусть даны две функции U(x) и V(x). Тогда:

(упрощенный вариант …= UV-

Пример: Обозначим U=x, V= , V’= Поэтому = +C.

16) Интегрирование рациональных функций.

Опр. Рациональная функция (или рац. дробь) – это функция вида , где f(x) и g(x) – многочлены от x

Примеры: x; ; x²-1;

Опр. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена f(x) меньше степени g(x).

Опр. Простейшие рациональные дроби – это дробь вида

1. , m>1 целое, A и C – постоянные

2. , где p²-4q<0(многочлен не имеет корней.

Теорема. Всякая рациональная дробь является суммой многочлена и правильной дроби. Любая правильная дробь разлагается в сумму простейших дробей.

Пример:

Интегрирование некоторых простейших дробей:

1. 

2. 

3. 

Интегрировать рациональные функции можно выражая через простейшие дроби.

Пример: , так как

17) (Подписать к графику!!) Интегральная сумма и определенный интеграл.

- называется интегральной суммой

функции f(x) на отрезке [a;b]

эта сумма равна суммые интеграций прямоугольников(см рисунок) и приближенно равна площади над кривой y=f(x) (см рисунок)

чем мельче разбиения ,тем меньше интегральная сумма отличается от площади криволинейной фигуры,ограниченной графиком функции y=f(x) сверху, осью Ох снизу и вертикальными прямыми х=а, х=в.

Определенный интеграл

Предел интегральной суммы Sn при λ→0 называется определенным интегралом функции f(x) на отрезке [a;b]

Обозначение

18) Основные свойства определенных интегралов. Методы интегрирования.

Основные св-ва определенного интеграла:

I. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.  , где х, t – любые буквы.

II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

IV. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.

V. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

VI. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.

Методы интегрирования:

1) Основной формулой интегрального исчисления является так называемая формула Ньютона-Лейбница.

ТЕОРЕМА. Пусть функция у=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – любая первообразная для f(x) на [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке, т.е.

 (2)

Нахождение определенных интегралов с использованием формулы Ньютона–Лейбница (2) осуществляется в два шага: на первом шаге, используя технику нахождения неопределенного интеграла, находят некоторую первообразную F(x) для подынтегральной функции f(x); на втором применяется собственно формула Ньютона-Лейбница – находится приращение первообразной, равное искомому интегралу. В связи с этим, введем обозначение для приращения первообразной, которое удобно использовать при записи решений. По определению положим

 (3)

Следует подчеркнуть, что при применении формулы Ньютона – Лейбница можно использовать любую первообразную F(x) для подынтегральной функции f(x), например имеющую наиболее простой вид при С=0.

Пример 16: Вычислить определенный интеграл 

Произвольная первообразная для функции f(x)=x² имеет вид  . Для нахождения интеграла по формуле Ньютона – Лейбница возьмем такую первообразную, у которой С=0. Тогда 

2) Метод подстановки (замена переменной)

При вычислении определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница предпочтительно жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нахождение приращения первообразной). Такой подход, использующий, в частности, формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла, обычно позволяет упростить запись решения.

ТЕОРЕМА. Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α,β], а=φ(α), в=φ(β) и функция f(х) непрерывна в каждой точке х вида х=φ(t), где t [α,β].

Тогда справедливо следующее равенство:

Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Подобно тому, как это было в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному (табличным). При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования α и β по новой переменной t как решение относительно переменной t уравнений φ(t)=а и φ(t)=в. На практике, выполняя замену переменной, часто начинают с того, что указывают выражение t=ψ(х) новой переменной через старую. В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной t упрощается: α=ψ(а), β=ψ(в).

Пример 19. Вычислить 

Положим t=2-х². Тогда dt=d(2-х²)=(2-х²)'dx=-2xdx и xdx=- dt. Если х=0, то t=2-0²=2, и если х=1, то t=2-1²=1. Следовательно:

Пример 20. Вычислить 

Воспользуемся заменой переменной  . Тогда   и  . Если х=0, то t=1 и, если х=5, то t=4. Выполняя замену, получим:

Пример 21. Вычислить 

Положим t=e^x. Тогда x=lnt, dx=dt/t и, если x=ln2, то t=2, если х=ln3, то t=3. Выполняя замену, получаем: