9) Основные правила дифференциального исчисления.

1) Теорема Ролля.

Пусть f(x) непрерывна на отрезке и дифференцируема в каждой внутренней точке. Пусть f(a)=f(b). Тогда на существует хотя бы 1 точка С, такая, что f’(c)=0.

Пример: f(x)=sin x, a=0, b=П. f(0)= sin0=0. f(П)=sin П=0. f(x)= cos x =0⇒ x=

2 ) Теорема Лагранжа.

Пусть f(x) непрерывна на отрезке и дифференцируема в каждой внутренней точке. Тогда существует С принадлежащая , f’(c) =

Пример: f(x) = x², a=0, b=1. = = 4= f’(c) = 2c⇒ c=2

3. Теорема Ферма.

Пусть f(x) непрерывна на отрезке и дифференцируема. Пусть в некоторой точке С функция принимает макс. и миним. значение. Тогда f’(c)=0.

10 ) Правило Лопиталя. Формулы Тейлора и Маклорена.

Правило Лопиталя.

Теорема: Пусть f(x) и g(x) определены в некоторой окружности точки а (кроме, быть может, самой точки а). Тогда если в точке а существует предел отношения самих функций и эти пределы равны.

Примеры:

= (если при подстановке вместо х 0 (или ∞) получается неопределенность вида (или ), то мы используем правило Лопиталя: находим производную от числителя и знаменателя и подставляем значение х уже в производную)

Формулы Тейлора и Маклорена. f⁽ⁿ⁺¹⁾

Пусть функция f(x) имеет в точке а и её окрестности производных до n-порядка. Если x-любое число из указанной окрестности, x≠a, то f(x) = f(a) + (x-a) + (x-a)² + … + (x-a)ⁿ + R_n+1(x)  ф-ла Тейлора.

R_n+1(x)-остаточный член, характеризующий погрешность формулы.

R_n+1(x)= (x-a)ⁿ⁺¹, c-некоторое число, такое, что a< c < x формула Маклорена

11) Исследование функции с помощью дифференциального исчисления.

1) Промежутки возрастания и убывания функции.

Если на (a;b) f’(x)˃0, то f(x) возрастает. Если на (a;b) f’(x)<0, то f(x) убывает.

2 ) Точки локального экстремума.

Точка а – точка локального экстремума функции f(x), если в некоторой окрестности точки а все значения функции строго меньше f(a). Точка локального экстремума - это точки максимума или минимума.

3 ) Достаточное условие локального max и min

Локальный min:

X < С	X=C	X ˃ C
f’(x) < 0	f’(x)=0	f’(x) ˃ 0

Локальный max:

X < C	X=C	X ˃ C
f’(x) ˃ 0	f’(x)= 0	F’(x) < 0

4. Т очки перегиба и выпуклость графика функции.

5. Асимптоты графика функции.

Асимптотой называется прямая, к которой сколь угодно близко приближается график функции f(x) при х а или при х∞

В ертикальная асимптота.

Прямая х=а – вертикальная асимптота.

Г оризонтальная асимптота:

Прямая у = b – горизонтальная асимптота.

,

Н аклонная асимптота:

Прямая y= kx + b – накл. асимптота, если

Схема исследования функции:

1. Область определения

2. Четность, нечетность, периодичность

3. Точки пересечения графика с осями координат

4. Точки разрыва

5. Точки экстремума, промежутки возрастания и убывания

6. Точки перегиба, выпуклости

7. Асимптоты

8. Построение графика