12) Функции нескольких переменных. Частные производные.

Пример функции нескольких переменных.

1. Пусть V-выручка от продажи ТВ. х- объем продаж, у – цена единичного товара. Отсюда следует, что V= xy

2. Пусть S- площадь ∆АВС. х- длина основания АС, у – высота ВМ. Тогда S=

3. Пусть х₁- объем продаж товара 1-го типа. х₂- объем продаж товара 2-го типа. у₁ – единица товара 1-го типа, у₂- единица товара 2-го типа. V-общая выручка. Тогда V= х₁ у₁ + х₂ у₂

М ы будем рассматривать только функции от 2х переменных.

х и у – переменная. Пара чисел (х;у) задает точку М на плоскости. Поэтому можно писать z= f(M). График функции z=f(x;y) – поверхность в пространстве.

Опр.: Число а называется пределом функции z= f(M) в точке M₀= (x₀;y₀)

если для любой последовательности точек M₁, M₂…M_z, сходящиеся к точке M₀, соответствующая последовательность значений функции: f(M₁), f(M₂)… f(M_z) сходится к точке а.

Запись: = a

Частные производные.

Пусть z = f(x;y) – функция от двух переменных. Её можно дифференцировать по каждой из них.

Частная производная по х:

Частная производная по у:

При дифференцировании по х можно рассматривать у как постоянную величину. А при дифференцировании по у, можно считать х константой.

Пример: f(x;y) = x^y ; f’(x) = yx^y-1 ; f’(y) = x^y lnx

Дифференциал: d= f’(x) (x,y) dx + f’(y) (x,y) dy

Функция f(x;y) = z называется дифференцируемой в точке M₀= (x₀; y₀) если в ней существуют обе производные.

и

Пример: f(x;y) = x² – 3xy +y+1 = z = 2x-3y; = -3x+1; dz= dy= (2x-3y)dx + (1-3x)dx

13) Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

Условный экстремум функции – это условный минимум и условный максимум.

Соотношение вида (х;у) = 0, где φ – некоторая функция от х и у ,называется уравнением связи,а наименьшее(наибольшее) – значением функции.

z= (x, у) при условии φ(х;у) = 0,называется условием экстремумов.

Соответственно, если это возможно, из уравнения связи F(x, у) = 0 находят  и затем подставляют в функцию z= (x, у). В результате

становится функцией одной переменной х, для которой задача решается известными методами.

В противном случае для нахождения точек экстремума применяется метод множителей Лагранжа, который заключается в следующем.

(Метод  множителей Лангранжа - метод решения задач на условный экстремум)

Составляют функцию Лагранжа

λ-параметр

решаем систему уравнений

du/dx=0

du/dy=0

φ(х;у) = 0

Если полученная система имеет решение относительно параметров.  тогда точка x может быть условным экстремумом, то есть решением исходной задачи.

14) Неопределенный интеграл и его основные свойства.

Неопределенный интеграл от функции f(x)– это совокупность всех его первообразных.

Запись где .

Свойства неопределенного интеграла:

1)производная от неопределенного интеграла равна подинтегральной функции

2) Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов

3) Постоянный множитель можно выносит за знак интеграла