- •Функции и способы их задания. Элементарные функции
- •Предел последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
- •Определение предела функции. Примеры.
- •Основные свойства пределов. Замечательные пределы.
- •Непрерывность функции. Точки разрыва 1 и 2 рода.
- •Свойства непрерывных функций
- •Производная функции. Геометрический и физический смысл производной.
- •Дифференциал функции. Основные правила дифференцирования.
- •9) Основные правила дифференциального исчисления.
- •10 ) Правило Лопиталя. Формулы Тейлора и Маклорена.
- •11) Исследование функции с помощью дифференциального исчисления.
- •12) Функции нескольких переменных. Частные производные.
- •13) Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
- •14) Неопределенный интеграл и его основные свойства.
- •15) Замена переменных и интегрирование по частям для неопределенного интеграла.
- •16) Интегрирование рациональных функций.
- •17) (Подписать к графику!!) Интегральная сумма и определенный интеграл.
- •18) Основные свойства определенных интегралов. Методы интегрирования.
- •19) Геометрические приложения определенного интеграла.
- •1) Вычисление площади плоских фигур
- •2) Вычисление объема
- •20) Приближенное вычисление определенного интеграла. Методы интегрирования.
- •1) Формула прямоугольников
- •2) Формула трапеции
- •21) Дифференциальные уравнения. Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.
- •22) Задача Коши и теорема Коши.
- •23) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •24) Решение дифференциальных уравнений методом подстановки (метод Бернулли)
- •Первый способ
- •Второй способ
- •25) Решение дифференциальных уравнений методом вариации постоянной (метод Лангранжа) Метод вариации постоянной (метод Лагранжа)
19) Геометрические приложения определенного интеграла.
1) Вычисление площади плоских фигур
а) фигура ограничена графиков неотрицательной функции y=f(x), осью ох и прямыми х=а, х=b
Пример:
Y=1/2 +1, а=-2, b=3
S= = +x (3)│(-2) = 10
S
y y=f(x)
a b x
б) фигура ограничена графиком отрицательной функции, осью ох, прямыми х=а, х=b
S= -
y
S
a b x
y=f(x)
в) фигура ограничена графиком
функции несколько раз меняющей знак, осью ох, прямыми х=а, х=b. В таком случае, разбиваем отрезок [a,b] на части, в которых f(x) не меняет знак.
y Тогда S=- + - + - .
+ +
а - c d - e f - b x
г) фигура ограничена графиками 2ух непрерывных функций y=f(x) и y=g(x).
S =
y y=f(x)
S y=g(x)
a b x
2) Вычисление объема
y
0 x
Пусть тело, полученное вращением вокруг оси ОХ линии y=f(x). Обозначим через S(x) площадь круга, полученного в сечении этой фигуры плоскостью перпендикулярной оси ОХ и проходящей через точку х. Тогда его радиус R равен f(x), а площадь S(x)=П = П (x)
Объём тела вращения, ограниченного сечениями х=а, х=b равен
V= = П (x)dx
20) Приближенное вычисление определенного интеграла. Методы интегрирования.
1) Формула прямоугольников
y y=f(x)
y0 y1 yn-2 yn-1 yn
X0=a x1 x2 xn-2 xn-1 xn=b x
Cчитаем интеграл . Разбиваем отрезок [a,b] на n равных частей [x0,x1], … , [xn-1,xn], x0=a, xn=b.
Заменяем f(x) ступенчатой функцией и получаем на плоскости n прямоугольников с одинаковыми основаниямию Сумма их площадей равна
S0=y0(x1-x0)+y1(x2-x1)+ … + y(n-1)(xn-x(n-1))
Длина основания каждого из прямоугольников равна x1-x0=x2-x1=b-a/n
Поэтому S0=b-a/n(y0+y1+ …+ yn-1)
Приближенное значение интеграла равно S0, т.е.
=b-a/n(y0+y1+ … + yn-1)
2) Формула трапеции
См. график выше
Чтобы посчитать интеграл по формуле трапеции, мы заменим график функции f(x) на отрезке [a,b] ломанной линией. Формула площади одной трапеции S= h
Как и в случае формулы прямоугольников, отрезок [a,b] разделим точками x0, x1, … , xn на n равных частей.
Обозначим h=b-a/n=x1-x0=x2-x1= … = xn-1-xn
Сумма площадей всех трапеций равна h(y0/2+y1+y2+ … +yn-1+yn/2)
Отсюда =(b-a)/n((yo+yn)/2+y1+y2+ … +yn-1)